Histoire de la Géométrie

Discussion dans 'Bibliothèque Wladbladi' créé par titegazelle, 29 Septembre 2012.

  1. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Histoire de la Géométrie



    L'objet de la géométrie (géométrie : du grec γεωμετρία ; géo : terre ; metria : mesure) concerne la connaissance des relations spatiales. Avec l'arithmétique (étude des nombres), elle constituait, dans l'Antiquité, l'un des deux domaines des mathématiques.

    La géométrie classique, issue de celle d'Euclide, est basée sur des constructions obtenues à l'aide de droites et de cercles, c'est-à-dire élaborées «à la règle et au compas». Avec la considération de figures plus complexes et la nécessité de la mesure, la barrière entre la géométrie et l'étude des nombres et de leurs relations (arithmétique, algèbre) s'est peu à peu estompée.

    À l'époque moderne, les concepts géométriques ont été généralisés et portés à un plus haut degré d'abstraction, au point de perdre à proprement parler leur signification d'origine. Peu à peu abstraits ou soumis à l'usage de méthodes algébriques nouvelles, ils se sont pourrait-on dire dissouts dans l'ensemble des mathématiques où ils sont aujourd'hui utilisés en tant qu'outils dans de très nombreuses branches.

    Les premières traces de géométrie

    Si les grecs peuvent être considérés comme les fondateurs de la géométrie en tant que science et discipline mathématique, de nombreuses connaissances en géométrie, nécessaires à la topographie, l'architecture, l'astronomie et l'agriculture, ont précédé la civilisation grecque. Les premières notions de géométrie reconnues remontent à 3000 avant JC, du temps de l'Égypte ancienne, de l'ancienne civilisation hindoue, des babyloniens et peut-être (mais l'hypothèse reste controversée) au sein de peuplades mégalithiques de Grande-Bretagne et de Bretagne.

    Géométries égyptiennes et babyloniennes

    Les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation témoignent assez d'une connaissance au moins empirique des figures planes et solides. Les rares documents subsistant (papyrus de Moscou, papyrus Rhind, papyrus Kahun) montrent l'utilisation de règles pratiques pour résoudre des questions spécifiques faisant intervenir les notions de longueur, d'angle, d'aire et de volume.

    La géométrie semble être apparue chez les Egyptiens suite à la nécessité à laquelle ils étaient confrontés d'arpenter chaque année des terrains transformés par les crues du Nil. Elle s'est ensuite développée pour les besoins de l'architecture, de l'agriculture et de l'astronomie.

    La tablette pré-babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation de la longueur de la diagonale d'un carré.

    Parmi les résultats de ces sciences Antiques, on peut citer des versions du théorème de Pythagore, développé par les Égyptiens et les Babyloniens 1500 ans avant les Pythagoriciens, une table de trigonométrie chez les Babyloniens, ou encore la formule exacte du volume d'une pyramide carrée tronquée.


    Géométrie indienne (3000-500 avant J. C.)

    La civilisation de la vallée de l'Indus a utilisé des résultats de géométrie aussi développés que leurs contemporains en Mésopotamie et en Égypte.

    La géométrie a été pratiquée en Inde depuis lors, et l'illustre mathématicien Indien du VIIe siècle Brahmagupta, auquel on attribue la géniale invention du zéro, est aussi l'auteur d'un théorème qui porte encore son nom. Par ailleurs, la contribution Indienne au développement de la trigonométrie est également tout à fait significative


    Géométrie chinoise

    Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore. Ils ont été produits vers le Ie ou le IIe siècle av. J.-C..

    L'héritage grec

    Pour les mathématiciens de la Grèce antique, la géométrie était au cœur des sciences. Elle a atteint une richesse de méthodologie inégalée dans les autres domaines du savoir.
    Par rapport à leurs prédécesseurs, les Grecs étudièrent de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et solides ; ils reconnurent que les objets physiques peuvent n'être conçus que comme des approximations des formes étudiées en géométrie.
    Mais surtout, ils innovèrent au niveau de la méthode, en réussissant à généraliser et à établir des lois à partir des nombreuses règles empiriques connues depuis longtemps.


    Les précurseurs (600-300 avant J.C.)

    Thalès de Milet et Pythagore passent pour être parmi les premiers à avoir développé un raisonnement hypothético-déductif et à s'être interrogés sur la valeur des raisonnements.

    On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et bien sûr le théorème de Thalès.

    On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

    On ne peut manquer, dans une revue de la géométrie antique, de citer Platon qui aurait fait graver sur le fronton de son académie la célèbre formule «que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre».

    On a pu prêter à l'illustre philosophe l'introduction des cinq solides platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre régulier. Il est cependant plus vraisemblable que leur découverte n'ait pas été faite par un seul homme, et que le mathématicien Grec ayant identifié l'existence des seuls 5 polyèdres réguliers soit Théétète. Par ailleurs, Platon est crédité d'avoir introduit l'idée que toutes les figures géométriques puissent être construites à l'aide d'une règle et d'un compas. Les problèmes de la trisection de l'angle, de la duplication du cube, et de la quadrature du cercle qui résultent de cette hypothèse, ont hanté l'antiquité, les mathématiciens Arabes et les modernes jusqu'au XIXe siècle. Ce dernier problème incita Ménechme à introduire les coniques.
    Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Eudoxe de Cnide.


    Apogée au IIIe siècle av. J.-C. : Euclide et Archimède

    Mais le champion toutes catégories de la géométrie Grecque est bien sûr Euclide. Ses Éléments sont le premier ouvrage de géométrie qui nous soit parvenu pour ainsi dire intégralement. Euclide y expose de manière si précise et si rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie, qu'on a pu le considérer comme l'inventeur même de la méthode axiomatique.

    Il n'y a pas d'ouvrage mathématique plus illustre que celui d'Euclide qui, en nombre d'éditions, ne le cède qu'à la Bible ou au Coran : Il fut tenu pour l'expression de la vérité absolue pendant plus de 2000 ans.

    Les éléments d'Euclide déroulent l'ensemble des connaissances de géométrie de l'Antiquité à partir de 5 axiomes fondamentaux. Parmi ces axiomes, le cinquième présente l'aspect d'un simple théorème, en sorte que les générations de géomètres successives se sont efforcées de le démontrer, on le sait maintenant, en vain.
    Il faut également signaler la contribution remarquable d'Archimède, qui introduisit le raisonnement par exhaustion, montra l'existence du nombre pi, et s'approcha des conceptions différentielles qu'il n'atteignit cependant pas. (voir par exemple La quadrature de la parabole, de la mesure du cercle, de la sphère et du cylindre, des spirales, et pour la petite histoire la fascinante aventure du palimpseste.)

    On mentionnera aussi Apollonius qui publia au tournant du IIe siècle av. J.-C. un traité sur les coniques qui fit autorité jusqu'aux temps modernes.


    Géométrie hellénistique (200 avant notre ère - 500 de notre ère)

    Après ces géants des mathématiques, la géométrie marquera le pas dans l'Antiquité. Les innovations géométriques de Pappus ou de Proclus ne pouvant être tenues pour comparables, même de manière approchante.

    En parallèle à la géométrie théorique, les anciens ont également développé une science plus directement orientée vers les applications pratiques. En particulier, les astronomes Hipparque et Ptolémée ont introduit des relations entre les côtés et les angles des triangles qui sont comme les prémisses de la trigonométrie.


    Apport des Arabes

    La contribution de la civilisation arabe du Moyen Âge au développement de la géométrie a été tout à fait significative.

    Outre la traduction des textes antiques, à travers laquelle l'Europe reprendra connaissance de l'héritage grec, des mathématiciens arabes se ralliant à la tradition pragmatique ont développé la trigonométrie. On attribue l'introduction des fonctions trigonométriques à Nasir ad-Din at-Tusi.

    Al Kashi généralise le théorème de Pythagore (voir théorème d'Al-Kashi).

    La démonstration du 5e axiome et les problèmes de duplication du cube, trisection des angles et quadrature du cercle vont fasciner les savants Arabes comme ils l'avaient fait des Anciens.

    Cela conduira à trouver des formulations équivalentes à l'axiome d'Euclide (Thabit ibn Qurra), à obtenir d'excellentes approximations de π (Al Kashi), ou à développer des méthodes géométriques de résolution d'équations algébriques etc...

    Moyen Âge et renaissance

    D'une manière générale, le Moyen Âge constitue, en Europe occidentale, pour la géométrie comme pour bien d'autres sciences, une période de recul.

    La géométrie est certes encore enseignée. Elle fait partie du quadrivium qui comprend en outre l'arithmétique, l'astronomie et, plus étrangement pour nous, la musique. Le quadrivium est cependant plutôt moins prisé que le trivium (grammaire, rhétorique, et logique) : c'est que ce dernier est probablement mieux adapté à une société dont le projet essentiel est la préparation à la vie post-terrestre.

    Dans la longue période qui s'étend en gros du Ve siècle au XVe siècle, les savants géomètres sont rares en occident ! On pourra mentionner Gerber d'Aurillac qui devint pape sous le nom de Sylvestre II, et surtout Léonard de Pise dit Fibonacci ; encore sont-ils plus connus pour leurs travaux d'arithmétique et l'ardeur qu'ils mirent à traduire les œuvres des savants Arabes...

    La renaissance aux XVe siècle et XVIe siècle voit un premier frémissement de nouveautés géométriques avec l'apparition de la perspective conique dont la théorie est attaquée par toute une série de savants, Italiens en majorité, et dont les plus connus sont probablement Piero della Francesca, Leonard de Vinci, et Luca Pacioli, les deux premiers devant d'ailleurs leur gloire sérieusement plus à leur génie artistique que mathématique.



    Le XVIIe siècle

    Le XVIIe siècle voit une reprise énergique des travaux Antiques et Islamiques de géométrie.

    Il s'y réalise trois percées indépendantes mais très importantes pour l'approche collective de notre représentation de la réalité spatiale.


    Naissance de la géométrie analytique

    La création de la géométrie analytique est l'œuvre de Descartes, et à un titre moindre de Fermat. Les idées centrales de Descartes sont celles de repère et de projection orthogonale. Cette théorie permet de concevoir l'espace géométrique comme une collection de points représentés chacun par trois nombres.

    L'invention cartésienne (1637) constitue une véritable révolution dans le petit monde de la géométrie, puisque par le moyen de l'utilisation de ces repères, cette science se trouve en quelque sorte ramenée à des calculs sur des ensembles de deux ou trois nombres. La reine Antique des mathématiques qu'était la géométrie se voit ainsi ravir le trône au profit d'une science, somme toute assez nouvelle : l'algèbre.

    Apparition des méthodes différentielles

    Certaines méthodes de calcul d'Archimède recourraient à la division d'éléments en d'autres de plus en plus petits. Par exemple, pour approcher pi, Archimède calculait le périmètre du polygone circonscrit au cercle et celui du polygone inscrit. Il obtenait ainsi un encadrement de pi, et avait par cette méthode trouvé l'approximation de 22/7.

    Au cours de la première moitié du XVIIe, un certain nombre de savants occidentaux tels Fermat, Pascal, Gregory, Barrow, Cavalieri, etc..., très familiers des raisonnements d'Archimède avaient commencé à simplifier ses méthodes.

    Vers les années 1770, les illustres savants anglais et allemand que sont Newton et Leibniz, explicitent enfin les méthodes de calcul permettant l'utilisation des infiniment petits. Cette découverte est l'une des plus importantes jamais faites en mathématiques. Elle provoqua d'ailleurs, entre les deux génies conscients chacun de l'importance de sa trouvaille, une querelle de priorité assez amère... (Compte tenu des nettes différences d'approche de la question, il est aujourd'hui tenu pour hautement vraisemblable que les deux savants sont arrivés à la même découverte indépendamment. Au niveau strict du calendrier, la priorité de la découverte revient, au dire de ses collègues anglais, à Newton. Celle de la publication revient à Leibniz.)

    Ces méthodes permettent de ramener le calcul de certaines caractéristiques géométriques des figures courbes telles qu’angles entre les tangentes, surfaces, et volumes, à des calculs sur ce qu'on appelle les dérivées et intégrales. Elles ramènent l'usage de la règle et du compas à celui d'instruments fort grossiers ne permettant de traiter que des figures bien particulières.


    Premiers pas de la géométrie projective

    Une autre contribution originale du XVIIe siècle, due surtout à Desargues, et à un titre moindre à Pascal, se trouve inspirée par le développement des travaux de géométrie relatifs à l'étude de la perspective conique. La principale innovation consiste en l'introduction de points à l'infini dans des raisonnements de géométrie autres que ceux effectués pour la justification des constructions de vue en perspective.

    Parmi les propriétés mises à jour dans ce cadre, on citera le théorème de Desargues et le théorème de Pascal dont la postérité a été rehaussée par D. Hilbert.

    À dire vrai, cette contribution passera plutôt inaperçue, et son importance ne se révèlera qu'au XIXe siècle.


    Le XVIIIe siècle

    Le XVIIIe siècle n'est pas comparable au siècle précédent pour ce qui concerne la géométrie. C'est une période de transition et d'approfondissement.

    Les deux plus grands mathématiciens du siècle, Euler et Lagrange sont de remarquables géomètres, et contribuent également au développement de la géométrie d'Euclide (voir par exemple angles d'Euler, droite d'Euler, cercle d'Euler...).


    Cependant, les développements majeurs de la géométrie au XVIIIe siècle sont liés à ceux de la mécanique et sont relatifs à la géométrie différentielle. Ils constituent des raffinements des idées de Leibnitz et Newton. Clairaut (Recherches sur les courbes à double courbure - 1732) étudie les équations des courbes de l'espace qu'on appelle maintenant courbes gauches. En 1760, Euler publie ses Recherches sur la courbure des surfaces, œuvre dans laquelle il montre l'existence des deux courbures principales et démontre ce qu'on appelle maintenant le théorème d'Euler. Des savants respectables comme Meusnier ou Dupin contribuent également par quelques apports intéressants aux travaux fondamentaux d'Euler sur la géométrie des surfaces. Les notions importantes de longueur d'un arc d'une courbe, de cercle osculateur sont découvertes. Les expressions différentielles de la courbure et de la torsion d'une courbe gauche seront données par Cauchy au début du XIXe siècle.

    Par ailleurs, Legendre publie en 1794 des Éléments de géométrie qui constituent un des derniers grands traités de géométrie euclidienne. Malheureusement pour lui, ce savant croit à la démontrabilité du cinquième axiome d'Euclide, et en donne plusieurs démonstrations toutes fausses, bien évidemment, quoique d'une intelligence remarquable... Les fondements de la géométrie, et notamment le 5e axiome d'Euclide, continuent à inspirer certains mathématiciens, comme Lambert ou Saccheri.

    Vers la fin du siècle, Monge crée une branche spécifique de la géométrie appelée géométrie descriptive, qui vise à assister l'ingénieur dans les représentations des machines. Les règles élaborées par Monge seront très utilisées durant tout le XIXe siècle et une large partie du XXe. Elles constitueront le fondement théorique de la pratique du dessin industriel.

    À l'issue des travaux des XVIIe et XVIIIe siècles, la géométrie euclidienne a atteint son plus grand développement, mais les fameux problèmes de géométrie hérités de l'Antiquité ne sont toujours pas résolus, même s'il est à peu près clair pour la plupart des savants qu'ils constituent des problèmes impossibles, au point qu'à partir de 1775, l'académie des sciences décide de refuser d'examiner les propositions de quadrature du cercle qui lui sont adressées.

    À la fin du XVIIIe, on distingue de plus en plus de deux géométries différentes : la géométrie d'Euclide qui raisonne sur des figures est appelée géométrie synthétique. La géométrie raisonnant à la manière de Descartes sur des nombres et des fonctions de nombres est appelée géométrie analytique. On ne doute guère, cependant de l'identité des matières, même si les méthodes sont différentes.


     
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    Suite...



    La géométrie au XIXe siècle


    On a pu qualifier le XIXe siècle de «siècle d'or de la géométrie». C'est en tous cas au cours de ce siècle que la pensée géométrique a évolué le plus profondément, en empruntant tout d'abord les trois voies découvertes au XVIIe, et en en ouvrant d'autres. Au terme de ce siècle les grands problèmes antiques du 5e axiome d'Euclide, de la duplication du cube, trisection de l'angle et quadrature du cercle sont enfin éclaircis.

    La géométrie projective

    L'inventeur de la géométrie projective est Jean Victor Poncelet. La démarche qu'il suit, et qui part des travaux de Monge, est de pure géométrie synthétique.

    En remettant à jour la question des points à l'infini et en autorisant même la considération de points imaginaires, Poncelet et ses continuateurs (Chasles, Gergonne en France, Möbius, Plücker et von Staudt en Allemagne) modernisent la géométrie d'Euclide et mettent à jour des méthodes de démonstration fulgurantes pour des séries de problèmes liés aux alignements de points et autres considérations générales portant sur les figures, mais à l'exception des égalités de longueur (propriétés métriques). La notion de birapport est mise en avant ; les grandeurs géométriques (angles, longueurs, surfaces) deviennent des grandeurs orientées, etc...

    Les méthodes de la géométrie projective font d'abord l'objet d'une certaine méfiance de la part des mathématiciens plus algébristes comme Cauchy, mais au fil des années, elles trouvent petit à petit droit de cité et finiront par s'imposer comme «l'une des manières de pratiquer la géométrie».
    Dans la seconde moitié du siècle, le Français Laguerre, et surtout l'Anglais Cayley resituent la position de la géométrie Euclidienne : elle n'est qu'un cas particulier de la géométrie projective (parfois appelée géométrie supérieure à cette époque).

    La contribution de Cayley va même plus loin puisqu'elle prouve que, dans le plan, les géométries non euclidiennes elliptiques et hyperboliques sont des géométries projectives.


    Géométrie non euclidienne

    L'idée de démontrer l'axiome d'Euclide par l'absurde, c'est-à-dire de le supposer faux pour arriver à découvrir une contradiction n'était pas neuve.

    Il fallait en revanche être un Russe à demi-fou originaire de la lointaine province de Kazan, pour tenter le contraire et oser publier une découverte aussi incroyable que celle d'une méthode de raisonnement géométrique basée sur une hypothèse différente de celle d'Euclide : C'est ce que fit Lobatchevski dès le début des années 1820. La parution de son livre écrit en russe et diffusé par un éditeur confidentiel eut cependant peu d'écho international. Un traitement à peine plus chaleureux fut réservé à une publication du même genre par le Hongrois Bolyai, quelques années plus tard.

    Gauss, qui connaissait ces résultats, et dont certaines recherches allaient dans la même voie n'osa jamais publier dans ce sens «par crainte des cris des Béotiens», comme il l'écrivit lui-même. En revanche, la situation changea très vite à la mort du savant allemand à l'examen des papiers qu'il n'avait pas voulu publier de son vivant. La mort du postulat d'Euclide était née, et la dernière des grandes interrogations de la géométrie antique était enfin éclaircie : Le postulat d'Euclide était peut être vrai ou faux ; il revenait toutefois à une science expérimentale d'en décider, car il n'était pas démontrable par les seules mathématiques.
    Riemann, ancien élève de Gauss, invente peu après un autre type de géométrie non euclidienne liée cette fois à la géométrie différentielle.

    Dans la seconde moitié du XIXe siècle, le sujet devient à la mode, et un certain nombre de travaux célèbres (Beltrami, Christoffel...) voient le jour. On s'aperçoit que l'on peut essentiellement définir, dans le plan, deux types de géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique. La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits en géométrie hyperbolique; elle est supérieure en géométrie elliptique.


    La géométrie différentielle

    La géométrie analytique continue de se développer. Les découvertes fondamentales du début du siècle sur la résolution des équations polynomiales (Galois- Abel), et ceux de Gauss portant sur la constructibilité de certains polygones à la règle et au compas éclaircissent considérablement la question et permettent à Pierre-Laurent Wantzel d'énoncer en 1837 un théorème portant sur la non-constructibilité à la règle et au compas (théorème de Wantzel). L'impossibilité de la duplication du cube et celle de la trisection de l'angle en résultent.

    Ce sont également des considérations algébriques qui permettront à Lindemann de démontrer la transcendance du nombre pi, confirmant ainsi rigoureusement l'impossibilité de quarrer le cercle.

    La géométrie différentielle va connaître au XIXe siècle un développement extraordinaire notamment sous l'impulsion des deux mathématiciens Gauss et Riemann. La possibilité découverte et développée par Gauss, d'écrire les équations des surfaces sous forme de systèmes de deux équations à deux inconnues et non pas sous forme d'une seule équation à deux inconnues introduit l'idée de carte d'une surface. Elle permettra de développer une géométrie intrinsèque aux surfaces, et les notions de formes fondamentales et de courbure de Gauss. La valeur de la courbure de Gauss ne dépend pas des fonctions utilisées pour paramétrer la surface : c'est le célèbre theorema egregium, c'est-à-dire théorème remarquable qui va inspirer Riemann et le conduire à introduire le concept de variété différentielle, en élargissant le concept de surface à des espaces mathématiques abstraits, les variétés, qui diffèrent des surfaces par leur dimension.

    On notera que c'est la géométrie différentielle qui permettra à Einstein de développer sa théorie de la relativité générale.

    Le programme d'Erlangen

    Vers les années 1870, non seulement l'idée de vérité absolue pour le 5e axiome était-elle tombée, mais on disposait de plusieurs notions nouvelles (géométrie des variétés différentielles - géométrie non euclidienne - géométrie projective). Cette soudaine abondance de «vérités» n'allait pas sans créer un certain malaise.

    Le programme d'Erlangen, publié en 1872 sous le titre Considération comparatives sur les recherches géométriques modernes, est l'œuvre de Felix Klein ("Elementarmathematik vom höheren Standpunkt"). C'est un important travail de synthèse qui valide les géométries non euclidiennes et donne à la géométrie projective un rôle central.

    Ce travail constitue une extension de l'approche de Riemann, et met en avant la notion de groupe continu, qui sera développée notamment par Sophus Lie. Selon la conception de Klein, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.


    Naissance de l'algèbre linéaire

    Dès la première moitié du siècle Hamilton invente les quaternions qui permettent pour la première fois d'algébriser l'espace. La notion d'espace vectoriel émerge petit à petit, notamment à partir des travaux de Grassmann. Cayley invente les matrices. Toutes ces notions sont au départ de pure géométrie.

    La création de l'algèbre linéaire constituera l'un des développements majeurs des mathématiques de la fin XIXe et du début du XXe siècle. Mais, lorsqu'on considère les chemins empruntés par cette théorie au cours de son développement, il faut cesser à un moment ou à un autre de parler de géométrie. À partir de quand ?


    Le XXe siècle

    Au XXe siècle, la division traditionnelle des mathématiques en arithmétique, algèbre, analyse, et géométrie a explosé, en sorte que la définition même de ce qui pourrait être appelé «travaux de géométrie» est pour partie sujette à débats.

    Il convient aujourd'hui, lorsqu'on utilise le mot «géométrie», de distinguer selon qu'on autorise ou non son utilisation au pluriel.

    La géométrie, dans le sens que ce mot présente encore dans le langage commun, est appelée géométrie euclidienne dès qu'on veut utiliser un langage mathématique un tant soit peu soutenu. On considère cette partie des mathématiques comme essentiellement achevée pour ce qui est de sa théorie générale. Dans ce sens, les questions de géométrie relèvent éventuellement des mathématiques appliquées et n'ont d'ailleurs pas fait l'objet d'études profondes au XXe siècle. Il faut cependant en excepter les questions relevant des fondements de l'axiomatique de la géométrie Euclidienne.

    D'autre part, suivant les conclusions du programme de Klein, le mot «géométrie» est par ailleurs couramment utilisé au pluriel dans les mathématiques actuelles. Dans ce sens, il ne recouvre pas véritablement une discipline spécifique mais imprègne par contre une très grande partie de l'ensemble des théories mathématiques modernes.


    L'axiomatique de la géométrie

    Après la découverte du caractère particulier de la géométrie d'Euclide, la reformulation des axiomes de la géométrie a fait l'objet de toute une série de travaux remarquables. On citera en particulier l'ouvrage de D. Hilbert sur les fondements de la géométrie.

    Après Hilbert, la question des axiomes à retenir pour fonder la géométrie a été reprise notamment par Birkhoff avec en filigrane la théorie ergodique, et Tarski (espaces de Banach de dimension finie).

    La multitude des méthodes d'axiomatisation de la géométrie d'Euclide, et l'incertitude quant à leur identité complète (paradoxe de Banach-Tarski par exemple) est l'un des mystères les plus fascinants des mathématiques actuelles.


    Domaines des mathématiques issus en grande partie de la géométrie : topologie - mesure - géométrie algébrique etc...



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    Géométrie dans l'Égypte Antique


    Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d'ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des Grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de prédilection et il ne fait nul doute aujourd'hui que cette science associée à l'architecture, fit la grande réputation des Égyptiens.

    C'est l'une des raisons pour lesquelles leur pays accueillit en pèlerinage les savants de la Grèce antique. Les Égyptiens réussirent ainsi à calculer la surface d'un disque sans connaître le nombre pi, avec une erreur de seulement 0,6 %. Ils calculaient la surface d'un cercle en élevant au carré les 8/9 du diamètre, ce qui revient à une approximation de pi égale à 3,1605 (au lieu de 3,1416). Ils pouvaient calculer les volumes de pyramides et de cylindres et l'aire d'une sphère. Certains problèmes figurant sur les papyrus mathématiques du Moyen Empire préfigurent même les théorèmes de Thalès et de Pythagore.


    Le triangle

    Aucun document mathématique de l'Ancien Empire ne nous est parvenu. Mais l'architecture monumentale de la IIIe et IVe dynastie constitue une preuve remarquable que les Égyptiens de cette époque détenaient des connaissances relativement élaborées en géométrie, et en particulier dans l'étude des triangles. (§ Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5).


    Le calcul de l'aire de cette figure est étudié dans les problèmes R51 du papyrus Rhind, M4, M7 et M17 du papyrus de Moscou et datant tous du Moyen Empire. Le problème R51 constitue, dans l'histoire mondiale des mathématiques, le premier témoignage écrit traitant du calcul de l'aire d'un triangle.


    Énoncé du problème R51 du papyrus Rhind
    [​IMG]
    Description : Triangle du problème R51 du papyrus Rhind
    Date : 11 octobre 2008 à 08:49
    Source : Travail personnel
    Auteur : Bakha
    Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre, la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
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    J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre dans n'importe quel but,
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    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons
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    «Exemple de calcul d'un triangle de terre. Si quelqu'un te dit : Un triangle de 10 khet sur son mryt et de 4 khet sur sa base. Quelle est sa superficie ? Calcule la moitié de 4 qui est 2 pour en faire un rectangle. Tu fais en sorte de multiplier 10 par 2. Ceci est sa superficie.»

    Le terme mryt signifie probablement hauteur, ou côté. Mais la formule utilisée pour le calcul de l'aire fait pencher l'interprétation en faveur de la première solution. Le scribe prenait la moitié de la base du triangle et calculait l'aire du rectangle formé par ce côté et la hauteur, soit
    :

    [​IMG]

    équivalente à la formule générale utilisée de nos jours :

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    Le triangle égyptien ou triangle 3-4-5
    [​IMG]
    Description : Triangle rectangle
    Date : 06/09/2007
    Source : Image : Rtriangle.svg by Gustavb
    Ce fichier est sous licence Creative Commons Paternité
    – Partage des conditions initiales à l’identique 2.5 Générique, 2.0 Générique et 1.0 Générique.
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons
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    Un triangle dont les côtés sont en proportion 3-4-5 est rectangle, l'angle droit étant défini par les côtés 3 et 4. Cette propriété se démontre par la réciproque du théorème de Pythagore, du fait que 32 + 42 = 52 (car 9 + 16 = 25).

    Le triangle rectangle 3-4-5 est très anciennement connu : le triplet pythagoricien 3-4-5 est mentionné sur des tablettes babyloniennes. Il est clairement attesté dans quatre des sections du papyrus Rhind : R57, R58, R59a et R59b, dans le calcul de la pente d'une pyramide (inclinaison de 5 + 1/4 palmes, voir papyrus Rhind).

    Il est admis que les architectes égyptiens, assistés de tendeurs de corde, traçaient leurs angles droits au moyen de ce triangle égyptien, mais cette technique semblait tellement naturelle qu'elle a laissé peu de traces écrites. L'usage perdurera tout au long du Moyen Âge.

    La pyramide de Khéphren est construite en respectant le triangle directeur des quatre exemples du papyrus Rhind : la ligne de plus grande pente d'une face étant comme 5, la verticale du sommet à la base est comme 4 et la demi-base qui termine le triangle rectangle est comme 3, ce qui correspond à un angle théorique de 53 °07'48" de la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. L'angle mesuré par Petrie 53 °10', est très proche de cette valeur. Le carré de la base, de 215,16 m de côté, est exact à 8 cm près, les côtés sont parallèles à 1' près, les faces sont orientées avec les points cardinaux à 5' près. La hauteur, évaluée à 143,87 m, correspond pour le tétraèdre à une pente de 53 °13'.
    [​IMG]
    Description : Coupe de la pyramide de Khéphren à Gizeh
    Date : 4 avril 2007
    Source : Travail personnel
    Auteur : MONNIER Franck
    Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre, la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas :
    J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre dans n'importe quel but,
    sans aucune condition, sauf celles requises par la loi.
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    Quand on sait que, de nos jours encore, une bonne chaîne d'arpenteur, c'est-à-dire une ruban en acier à coefficient de dilatation minimal, de 30 m de long, donne une précision maximale de +/- 0,5 cm par portée de 30 m et qu'un théodolite (mesureur d'angle) de chantier a une précision angulaire réelle de 25 gon (+/- 22,6") soit le cinquième de la précision sur le parallélisme des côtés de la base, on peut être en droit de se demander comment ce résultat a pu être obtenu à l'aide d'instruments aussi simples qu'une corde à treize nœuds.

    Calcul d'une pente

    Les problèmes R56, R57, R58 et R59 du papyrus Rhind détaillent la méthode de calcul de la pente d'une pyramide. Cette pente est désignée en ancien égyptien par le terme seked. Elle est le résultat de la demi-base divisée par la hauteur.

    Énoncé du problème R56 du papyrus Rhind

    «Une pyramide dont le côté est de 360 (coudées) et dont la hauteur est 250 (coudées). Fais en sorte de connaitre sa pente. Prends la moitié de 360. Le résultat est 180. Multiplie 250 de sorte à trouver 180. Cela fait 1/2 1/5 1/50 d'une coudée. Une coudée vaut 7 palmes. Multiplie 7 comme il suit :»

    1 7
    1/2 3 1/2
    1/5 1 1/3 1/15
    1/50 1/10 1/25

    «La pente est de 5 1/25 palmes.»

    Cette solution représente pour le mathématicien moderne le produit par sept de la cotangente de l'angle formé par la demi-base et l'apothème de la pyramide (l'angle formé par b et a sur la figure ci-contre). Les Égyptiens l'exprimèrent en coudées, puis finalement en palmes (une coudée valant 7 palmes). Le Seqed ne représentait donc pas à proprement parler une pente. Mais plutôt la mesure du côté horizontal du triangle proportionnel dont la hauteur vaut une coudée, côté exprimé ensuite en palmes. Par conséquent, la formule suivante permettait d'obtenir le seqed de la pyramide :


    [​IMG]

    Le seqed correspond également à la différence de longueur des côtés inférieur et supérieur d'une pierre qui épouse la pente de la pyramide. Il permettait donc d'en déterminer la coupe.


    Le trapèze ou triangle tronqué

    L'aire d'un trapèze est parfaitement calculée dans le problème R52 du papyrus Rhind :
    «Si on te dit : quelle est l'aire d'un triangle tronqué d'un terrain de 20 khet en sa hauteur, de 6 khet en sa base et de 4 khet en sa ligne tronquée ? Ajoute sa base à sa ligne tronquée. Cela fait 10. Prends la moitié de 10, 5, de sorte à obtenir un rectangle. Fais 20 fois 5. Cela fait 10. Ceci est sa surface. Calcule comme il suit:»
    1 1000
    1/2 500


    ✔ 1 2000
    2 4000
    ✔ 4 8000

    ________________________________________
      10000 (100 setjat)
    Méthode équivalente à l'application de la formule : [​IMG]


    Le rectangle


    Le papyrus de Moscou présente un problème illustrant la parfaite connaissance du calcul de l'aire d'un rectangle :

    Énoncé du problème M6 du papyrus de Moscou
    «Exemple de calcul d'un rectangle. Si quelqu'un te dit : Un rectangle de 12 setjat, d'une largeur de 1/2 1/4 sa longueur. Calcule 1/2 1/4 pour avoir 1. Le résultat est 1 1/3. Prends les 12 setjat fois 1 1/3. Le résultat est 16. Calcule sa racine carrée. Le résultat est 4 pour sa longueur. 1/2 1/4 de ceci est 3 pour la largeur.»

    Explication :

    Ce problème consiste à déterminer la longueur d'un rectangle, le rapport largeur/longueur et l'aire étant fixés.

    [​IMG]


    Le cercle et l'ellipse

    Le calcul de l'aire d'un disque représente sans doute l'un des progrès les plus significatifs effectué en mathématiques par les anciens égyptiens. Il est également l'un des exercices qui a fait couler le plus d'encre, le nombre pi et la quadrature du cercle semblant intimement liés au problème. Le calcul de l'aire est ainsi traité dans les problèmes R41, R42, R43, R48 et R50 du papyrus Rhind et enfin le problème M10 du papyrus de Moscou.


    Énoncé du problème R50 du papyrus Rhind

    «Exemple de calcul d'un champ rond de 9 khet. De combien est la surface du champ ? Soustrais son neuvième qui est 1. Il reste 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Ceci est la surface du champ, à savoir 64 setjat. Fais comme suit:»

    1 9
    1/9 1

    «Soustrais-le, il reste 8»

    1 8
    2 16
    4 32
    8 64

    «La surface du champ est 64 setjat.»


    1 9
    1/9 1

    «Soustrais-le, il reste 8»

    1 8
    2 16
    4 32
    8 64

    «La surface du champ est 64 setjat.»


    La formule appliquée par la scribe est donc clairement : [​IMG], d étant le diamètre du disque. L'énoncé évoque un champ rond de 9 khet, étant sous-entendu que 9 khet est le diamètre.
    Cette formule est équivalente à celle-ci : [​IMG]. La formule moderne du calcul de l'aire d'un disque étant [​IMG] ou [​IMG], la plupart des auteurs attribuent aux anciens Égyptiens l'approximation de la valeur [​IMG] à 256/81 soit 3,1605, valeur remarquable pour l'époque9. Cependant, le problème R50 exposé ci-dessus ne prouve pas que les Égyptiens aient eu conscience de l'existence de cette constante. La seule certitude est qu'ils pouvaient calculer l'aire d'un disque à partir de son diamètre, et d'en donner une valeur approchée avec une grande précision en l'assimilant à un carré. La méthode employée pourrait bien trouver une explication dans une esquisse géométrique du problème R48 du papyrus Rhind

    Opérations du problème R48 du papyrus Rhind

    1 8 setjat
    2 16 setjat
    4 32 setjat
    ✔ 8 64 setjat

    et
    ✔ 1 9 setjat
    2 18 setjat
    4 36 setjat
    ✔ 8 72 setjat
    ______________
      81

    Le problème ne contient aucun énoncé, ce qui rend son interprétation délicate. Néanmoins, son intérêt réside dans l'esquisse accompagnant les opérations mathématiques décrites ci-dessus. Celle-ci représente un cercle maladroitement dessiné (ou bien une figure octogonale) inscrit dans un carré. À l'évidence, les calculs sont relatifs à l'aire du disque de diamètre 9, comparable à celui du problème R50.

    La première hypothèse concernant ce dessin est que le scribe considère le disque dont il cherche l'aire comme équivalent à un octogone. Ce dernier est ainsi inscrit dans un carré dont les côtés sont égaux au diamètre du disque. L'octogone ayant une aire de 9² - 2 * 3² = 63, la surface du disque est alors approximée à 64.

    La deuxième hypothèse, avancée par Michel Guillemot, reproduit plus fidèlement le dessin et considère que la surface du disque est équivalente à un octogone irrégulier dont l'aire est exactement de 9² - (3² + 2*4) = 64 (voir figure ci-dessous). Cet auteur est allé plus loin en émettant l'hypothèse que le scribe pouvait reconstituer un carré de côté 8 en décomposant cet octogone, ce qui revient à avancer que l'idée de quadrature du cercle était déjà présente à leur esprit. Cette dernière hypothèse a toutefois le mérite de donner une explication satisfaisante à la formule utilisée au problème R50, qui revient à avancer l'égalité entre l'aire d'un disque et l'aire d'un carré dont les côtés sont égaux au 8/9e du diamètre du disque.

    Cette recherche géométrique pourrait trouver un équivalent dans une autre esquisse, découverte sur un mur du temple de Louxor par Ludwig Borchardt. Il s'agit d'une ellipse construite à l'aide d'un rectangle, les aires des deux figures n'étant différentes que de 1 %.


    [​IMG]
    Problème R48 du calcul de l'aire d'un disque.
    À droite, interprétation classique du problème ;
    à gauche, interprétation de Michel Guillemot

    ____________________________________________
    Description : Représentation du problème R48 du papyrus Rhind
    Date :
    10 octobre 2008
    Source : Travail personnel
    Auteur : Bakha
    Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre, la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas :
    J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre dans n'importe quel but,
    sans aucune condition, sauf celles requises par la loi.
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons

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    La demie-sphère



    L'énoncé M10 du papyrus de Moscou fut étudié maintes fois mais les auteurs ne s'accordent toujours pas sur l'interprétation du problème. Les tenants de l'étude de la surface d'un demi-cercle s'opposent à ceux de l'étude d'une demi-sphère. Il semble bien, au vu de l'énoncé et en dépit des nombreuses questions que cela engendre, que cette dernière proposition soit la plus acceptable.

    Énoncé du problème M10 du papyrus de Moscou
    «Exemple de calcul d'un nbt. Si on te dit : Un nbt dont la base est 4 1/2 entre limites. Peux-tu me faire connaitre sa surface ? Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 9. À cause de cela, le nbt est la moitié d'un objet rond, il adviendra 1. Tu feras en sorte de calculer le reste à 8. Tu feras en sorte de calculer 1/9 de 8. Il adviendra 2/3 1/6 1/18. Tu feras en sorte de calculer le reste de ce 8 par rapport à ce 2/3 1/6 1/18. Il advient 7 1/9. Alors, tu feras en sorte de calculer 7 1/9, 4 1/2 fois. Il adviendra 32. Voici sa surface. Tu as trouvé parfaitement.»
    Le terme nbt est traduit par corbeille. L'égyptien aboutit donc à un calcul donnant 32 comme résultat. Sylvia Couchoud a remarqué que la formule [​IMG] de la surface d'une demi-sphère, étant remplacée par le rapport égyptien 256/81, donne exactement le même résultat.


    Calcul d'un volume

    Autant l'arpentage nécessitait de solides connaissances quant aux calculs des aires, autant la vie domestique et la construction des grands édifices nécessitaient de savoir calculer des volumes, tels que ceux des greniers à blé ou des grandes constructions funéraires.

    Volume d'un cube


    Comme le montre le problème R44 du papyrus Rhind, la formule du volume d'un solide de forme cubique était connue des anciens Égyptiens : V = l * L * H où l, L et H sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

    Énoncé du problème R44 du papyrus Rhind15
    «Exemple de calcul d'un grenier rectangulaire. Sa longueur est 10, sa largeur est 10 et sa hauteur est 10. Quel montant de grain cela fait-il ? Multiplie 10 par 10. Cela fait 100. Multiplie 100 par 10. Cela fait 1000. Prends la moitié de 1000, soit 500. Cela fait 1500. C'est sa quantité en khar. Prends 1/20 de 1500. Cela fait 75, sa quantité en quadruple-heqat, soit 7500 heqat de grain.»

    Volume d'un cylindre (application aux greniers à blé)

    Les calculs de volume d'un cylindre interviennent dans les études du contenu des greniers à blé dont la base est ronde. Les représentations égyptiennes de ce type de grenier sont fréquentes. Le sommet est de forme ovoïde mais celui-ci n'est jamais pris en compte dans les calculs. L'introduction du grain se faisant par une trappe située au sommet, le tas de grain ne devait jamais dépasser la limite à partir de laquelle le diamètre du grenier diminuait.
    [​IMG]
    Description : Représentation d'un grenier à blé égyptien
    Date : 1894
    Source : Manuel d'archéologie égyptienne (1894)
    Auteur : Gaston Maspero
    Cette image est dans le domaine public car son copyright a expiré.
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons
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    Il existe deux types de calcul d'un tel volume. L'exemple suivant présente le premier type, fondé sur le calcul de l'aire d'un disque.

    Énoncé du problème R41 du papyrus Rhind
    «Exemple de calcul d'un grenier rond dont le diamètre est 9 et la hauteur, 10.
    Extrait 1/9 de 9, soit 1. Le reste est 8.
    Multiplie 8 par 8. Cela fait 64.
    Multiplie 64 par 10. Cela fait 640 coudées (Sous-entendu coudées cubiques).
    Ajoute la moitié de cela à cela. Cela fait 960 :
    le contenu en khar. Prends 1/20 de 960, soit 48.
    C'est ce que cela donne en quadruple-heqat de grains, 48 heqat.»



    Méthode de calcul :

    1 8
    2 16
    4 32
    8 64

    et

    1 64
    10 640
    1/2 320
    ________________
      960

    1/10 96
    1/20 48
    La formule algébrique équivalente serait donc [​IMG], avec d le diamètre du disque et h, la hauteur du cylindre.

    Le papyrus Kahun quant à lui, présente un calcul faisant intervenir une seconde méthode :

    Calcul du problème K4 du papyrus Kahun

    [​IMG]


    Ce calcul, répondant au problème du calcul d'un cylindre dont l'énoncé manque, peut être traduit en langage algébrique moderne. L'énoncé devait demander au scribe de calculer le volume en khar d'un grenier rond de 12 coudées de diamètre et de 8 coudées de hauteur.

    Nous traduirions le raisonnement du scribe par l'application de cette formule:


    [​IMG]

    formule strictement équivalente à celle énoncée plus haut reposant sur le calcul de l'aire d'un disque.

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Rhind41.jpg
    Problème 41 du papyrus Rhind
    (à gauche, texte en hiératique ;
    au centre, transcription en hiéroglyphes ;
    à droite, inversion des signes et translittération)
    ______________________



    Volume d'une pyramide tronquée

    [​IMG]
    Pyramide tronquée étudiée dans le problème 14 du papyrus de Moscou

    Description : diagram explaining solid described in problem 14 of the Moscow papyrus
    Date : 29 août 2007
    Source : wikimedia
    Auteur : Stumps
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons.
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    Le problème M14 du papyrus de Moscou est remarquable en ce sens qu'il dévoile l'extraordinaire capacité des anciens Égyptiens à inventer et utiliser des méthodes de calcul complexes et d'une parfaite justesse.

    Énoncé du problème M14 du papyrus de Moscou
    «Méthode de calcul d'une pyramide tronquée. Si on te dit : Une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet. Calcule le carré de 4. Le résultat est 16. Prends le double de 4. Le résultat est 8. Prends le carré de 2. Le résultat est 4. Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4. Le résultat est 28. Prends 1/3 de 6. Il vient 2. Prends 2 fois 28. Il vient 56. Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct.»
    Cet énoncé décrit le calcul suivant :
    [​IMG]

    que l'on pourrait traduire très exactement par :
    [​IMG]
    formule générale exacte d'une pyramide tronquée.

    Le moyen mis en œuvre par les Égyptiens pour déterminer une méthode aussi complexe nous est inconnu. Les Babyloniens eux-mêmes ne sont parvenus qu'à une approche approximative du résultat pouvant être associée à la formule suivante :


    [​IMG]


    [B]Volume d'un tronc de cône[/B]

    [​IMG]
    Description : Section de la partie interne de la clepsydre du papyrus n° 470 d'Oxyrhynche
    Date : 1920
    Source : Die altägyptische Zeitmessung
    Auteur : Ludwig Borchardt
    Cette image est dans le domaine public car son copyright a expiré.
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons.
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    Un papyrus d'époque tardive, mais découvert en Égypte à Oxyrhynque traite du volume d'un tronc de cône identifié à une clepsydre. La description de cet instrument rappelle de très près la clepsydre de Karnak et démontre que les anciens Égyptiens furent très tôt capables de calculer de tels volumes.



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    Nom de la page : Géométrie dans l'Égypte antique
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    Source : Article [URL="http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_dans_l%27%C3%89gypte_antique"]Géométrie dans l'Égypte antique[/URL] de Wikipédia en français (auteurs)


     
  4. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Histoire de la Géométrie
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    Suite de Géométrie dans l'Égypte antique



    Pyramide à faces lisses


    Alors que les premières pyramides d'Égypte étaient composées de degrés superposés, les architectes de la IVe dynastie ont perfectionné leurs techniques pour aboutir à des pyramides à faces lisses, dont les plus magnifiques représentantes sont les grandes pyramides de Gizeh.

    On considère les pyramides à faces lisses comme une évolution technique marquante dans l’architecture de l’Égypte ancienne.


    Signification religieuse d'une pyramide
    La pyramide, vecteur religieux
    Dans la mythologie égyptienne, la vision héliopolitaine de la création est symbolisée par la colline émergeant de l'océan primordial. Cette butte primordiale, dont l'image est le benben, fit jaillir la première forme de vie sous la forme d'un lotus. Cette colline émergée représente donc la forme d'une vie nouvelle dont les tertres, les mastabas et les pyramides surmontaient la sépulture des défunts souverains afin de les amener à leur nouvelle existence. Le benben procurait la force régénératrice nécessaire à la réalisation de la renaissance spirituelle, l'union du avec le ka, l'apparition de l'akh. À partir de la fin de la IVe dynastie, les nouvelles convictions religieuses solidement établies entrainèrent une conception standardisée de l'infrastructure des pyramides. La chambre funéraire était aménagée à l'ouest de l'antichambre, le sarcophage étant placé à l'extrémité ouest de la chambre funéraire. Le mythe décrivait, le soir, l'entrée du soleil dans le monde souterrain, la douât, où il fusionnait avec Osiris, afin de renaître à la vie. L'extrémité ouest de la chambre sépulcrale symbolisait cette entrée au monde souterrain. L'esprit du roi s'enfonçait dans la douât, s'unissait à Osiris afin d'opérer sa renaissance. L'esprit revivifié du roi, l'akh, réapparaissait dans l'antichambre correspondant à l'akhet, l'aube. L'akh pouvait alors quitter la sépulture par le couloir d'entrée orienté vers l'hémisphère nord du ciel et rejoindre le royaume des morts, aidé en cela par le gigantesque escalier figuré par la pyramide.
    Les textes des pyramides
    Pour la première fois, sous le règne d'Ounas, les Égyptiens inscrivirent des textes religieux sur les parois de l'antichambre et de la chambre funéraire, restant ainsi à la disposition du ka du roi. Ces textes consistent en formules d'offrandes, formules magiques et invocations permettant au souverain défunt d'accéder à la renaissance.

    Évolution des pyramides lisses

    À dater de la IVe dynastie, l'architecture des pyramides égyptiennes prend un nouvel élan et, grâce à l'évolution des techniques, tend à la perfection géométrique. La première pyramide à faces lisses est inaugurée par Snéfrou à Meïdoum. Il achève le monument que son prédécesseur avait probablement initié en opérant une transition audacieuse de la pyramide à degrés en une véritable pyramide classique, donnant ainsi à la forme du monument une beauté abstraite qui caractérisera tous les monuments du genre édifiés par la suite. Le symbolisme solaire y trouvait un accomplissement jamais égalé. Le complexe funéraire était désormais entièrement organisé autour de cette pointe dressée vers les cieux, et dont la blancheur du revêtement ajoutait à l'effet recherché d'allier le culte du roi à celui de l'astre diurne dont la théologie, à n'en pas douter, rayonnait déjà sur tout le pays.

    L'ultime stade d'évolution des pyramides à faces lisses est à rechercher en Nubie et au Soudan, où les pharaons de Napata, puis de Méroé, édifièrent des monuments dont l'angle beaucoup plus raide leur donne un aspect plus aigu et deviendra d'ailleurs une caractéristique de cette civilisation de l'antique Soudan.

    La superstructure
    - Matériaux
    Tout comme les précédentes pyramides à degrés, les pyramides lisses ont un parement en calcaire fin, matière relativement douce et facile à travailler, qui se brise suivant le plan de découpe impulsé par le tailleur de pierre.
    De nos jours, la couche de parement extérieur lisse des deux grandes pyramides de Gizeh a presque entièrement disparu, celles-ci ayant servi de carrières pour la construction de la ville du Caire.
    La pyramide de Mykérinos a la particularité de présenter un parement de granite rouge, non ravalé, mais bien conservé sur environ le quart de la hauteur.
    - Architecture
    Cette seconde révolution technologique et architecturale semble s'être mise en place sous le seul règne du premier souverain de la dynastie qui, outre le complexe de Meïdoum, fera bâtir en son nom propre deux autres pyramides colossales à Dahchour.

    [​IMG]
    Description :
    Coupe Sud-Nord de la pyramide de Meïdoum

    Date : 3 mars 2007
    Source : Travail personnel
    Auteur : MONNIER Franck
    Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre,
    la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ;
    dans ce cas : J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre
    dans n'importe quel but, sans aucune condition,

    sauf celles requises par la loi.

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    Si l'ordre de construction de ces derniers monuments reste encore discuté, l'architecture de leur superstructure révèle assez bien les recherches nécessaires qui ont permis d'aboutir à l'édification d'un monument stable et prévu pour durer l'éternité. C'est bien sûr avec Khéops et sa grande pyramide que ce but est atteint. Les projets qui suivront profiteront de toutes les avancées technologiques efficaces alors employées pour l'édification de ces monuments.

    La construction en assises de lits déversés utilisés par les architectes des pyramides à degrés est abandonnée au profit d'assises régulières maçonnées et superposées horizontalement, dont les blocs voient leur taille se réduire à mesure que le monument se dressait. Il est postulé que ce choix architectonique est lié à la présence des chambres funéraires au sein même du monument.

    Avec la IVe dynastie, la taille des pierres reste néanmoins cyclopéenne avec un poids dépassant le plus souvent les deux tonnes, ce qui force l'admiration pour les techniques de l'époque et continue à exciter les imaginations en donnant lieu à toutes sortes de théories et d'hypothèses pour déterminer les moyens dont les anciens Égyptiens se sont servis pour tailler, transporter, haler et ajuster ces millions de pierres en l'espace d'une centaine d'années.

    Force est de constater, avec les nouvelles études faites sur les monuments de cette période, que ces gigantesques tombeaux combinaient plusieurs types de maçonnerie et profitaient souvent des caractéristiques du terrain choisi pour leur édification. L'aspect soigné de l'architecture semble avoir été réservé surtout à la maçonnerie située autour des appartements funéraires du roi, partie la plus sacrée de l'édifice, et également aux couches extérieures du monument, afin de lui assurer une grande stabilité dans sa forme géométrique. Les premières assises du parement sont, par exemple, encastrées dans le sol rocheux, ce qui interdisait tout glissement de la structure une fois l'édifice achevé.

    D'autre part certaines pyramides sont conçues à partir d'un éperon rocheux nivelé et retaillé pour les besoins de la construction, servant de noyau et réduisant considérablement le volume restant à bâtir.

    Avec la Ve dynastie et les pyramides d'Abousir et de Saqqarah, l'architecture de la superstructure des pyramides à faces lisses est mieux connue. Elle est d'ailleurs assez uniforme, ce qui dénote un aboutissement dans les méthodes de construction, qui suivront alors des étapes précises héritées des expériences menées par la dynastie précédente.

    Le chantier débutait par le creusement d'une vaste excavation afin de contenir le dispositif désormais souterrain abritant le caveau royal recouvert et protégé par un dispositif de couverture de dalles monolithiques disposées en chevrons, puis le noyau de la pyramide était conçu comme une pyramide à plusieurs degrés qui s'élevait par dessus cet ensemble souterrain. La chaussée qui montait de la vallée vers le chantier de la pyramide devait servir alors de voie de halage pratique pour les matériaux de construction, tandis que des rampes secondaires étaient placées sur les faces du noyau de la pyramide, afin de poursuivre son édification. Enfin des assises régulières de blocs de calcaire parachevaient le tout en une pyramide à faces lisses dont le parement de calcaire fin de Tourah assurait la cohérence de l'édifice, lui conférant la stabilité nécessaire et son aspect géométrique final, dont le pyramidion terminal était probablement sculpté dans un matériau différent, tel le granite par exemple. Cette pierre polie et recouverte d'une feuille d'or étincelait sous le soleil du désert et ainsi signalait chaque monument funéraire à l'horizon occidental de la vallée.

    Cette conception de la pyramide n'évoluera guère au cours de toute la fin de l'Ancien Empire et c'est seulement avec la XIIe dynastie que la superstructure de l'édifice subira à nouveau une nouvelle révolution technique. Ces monuments seront alors bâtis selon une nouvelle méthode de construction dont l'architecture, si elle apparaît plus pauvre en qualité des matériaux, offre une résistance étonnante aux assauts du temps. En effet si le massif de la pyramide est désormais construit en brique crue, il comporte pour la première fois une armature de murs croisés de manière à répartir les charges. Les interstices laissés entre ces murs étaient comblés par un blocage constitué de débris divers renforcé par des assises horizontales de millions de briques crues recouvertes d'un parement de calcaire fin de Tourah.

    Comme pour les pyramides précédentes, ce parement a été prélevé depuis longtemps pour construire d'autres monuments. Mais si pour les exemples de l'Ancien Empire, ce défaut nuit gravement à la stabilité d'ensemble de l'édifice, menaçant notamment l'infrastructure, la cohésion de l'édifice n'étant plus assurée, pour les pyramides du Moyen Empire il en va tout autrement grâce à l'architecture inventée.

    Cependant, pour ces derniers cas, la qualité des matériaux résiste mal à l'érosion et a subi l'assaut des hommes qui, au début de l'histoire de l'égyptologie, n'hésitèrent pas à éventrer ces édifices afin de mettre à jour les infrastructures que l'on espérait alors encore intactes.
    - Propriétés géométriques et astronomiques
    Il existe différentes formes de pyramides lisses, qui comportent toutes la caractéristique d'avoir un revêtement ou parement leur donnant un aspect géométrique presque parfait. Mais leur aspect diffère considérablement suivant l'angle donné à leur pente.

    Les pyramides de Gizeh constituent certainement l'exemple le plus parfait, mais on peut également citer l'ensemble de Dahchour, où deux pyramides lisses furent édifiées par le roi Snéfrou, père de Khéops. L'une d'elles est communément appelée pyramide rhomboïdale, parce qu’elle comporte un changement d'angle à mi-hauteur. Cette modification intervenue en cours de chantier est probablement due à ce que le monument présentait déjà des signes d'affaissement, encore décelables dans sa distribution intérieure.

    On imagine bien la difficulté de réaliser des pyramides lisses : elles ne souffrent que d'erreurs extrêmement minimes dans la conception et dans l'étude architecturale offrant à l'édifice une très grande stabilité, défiant les siècles. Il faut calculer les angles, les orientations, estimer la répartition des charges, la masse des blocs, leur disposition dans la pyramide en construction, à partir de l'angle initial.

    Les premières grandes pyramides à faces lisses ont la propriété d'être orientées suivant les quatre points cardinaux. Le record de la précision est obtenu à la pyramide de Khéops avec une erreur maximale de 3 minutes d'arc. Cette performance fut obtenue avec des moyens très rudimentaires. Le but à atteindre était de déterminer la direction du nord géographique. Pour ce faire, les Égyptiens visaient une étoile dans le nord et divisait l'angle formé par sa position au lever, la position de l'observateur et la position de l'astre au coucher. L'observateur, situé au centre d'un enclos circulaire, utilisait deux instruments de visée appelés le bay et le merkhet.

    Une autre caractéristique étonnante des pyramides lisses (ou du moins, de la pyramide de Khéops, de la pyramide rouge, de la pyramide rhomboïdale et de la pyramide de Mykérinos), est que leurs faces ne sont pas absolument inscriptibles dans un plan : on constate un phénomène de concavité des assises au niveau des apothèmes. I.E.S. Edwards attribue celle-ci au fait que les lits de pierres sont légèrement déversés vers le centre de chaque assise, d'où la dépression.

    Les infrastructures
    Véritable sanctuaire abritant la relique momifiée de Pharaon, les infrastructures des pyramides étaient les parties du complexe pyramidal qui recevaient l'architecture la plus soignée, les matériaux les plus résistants et les plus riches, les dispositifs de protection les plus aboutis.

    Si, avec la IIIe dynastie, ces dispositifs internes semblent avoir été conçus comme une réplique funéraire du palais du roi, à dater de la fin de cette dynastie, et désormais pour toutes les pyramides qui seront construites par la suite, les infrastructures répondront alors à trois principes essentiels dans la conception funéraire des anciens Égyptiens. L'un symbolique et mythologique, traduit de manière éloquente par les textes des pyramides qui apparaissent à la fin de la Ve dynastie, ainsi que par l'orientation du couloir d'accès (pointant les étoiles du nord associées à Osiris) et de la chambre funéraire (orientée est-ouest suivant la course du dieu soleil Rê), l'autre technique, selon le choix des architectes de placer le caveau en dessous du monument pyramidal ou en son sein, enfin le dernier est évidemment lié à la protection de cette ultime demeure du souverain inhumé avec tous ses biens nécessaires à sa survie dans l'au-delà, et dont la richesse ne cessera d'exciter les convoitises depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours.
    - Évolution générale chronologique de la distribution interne
    Plusieurs systèmes différents de distribution interne des pyramides existent parallèlement et seront utilisés avec diverses fortunes selon les choix architecturaux pris pour la pyramide. Ces choix qui déterminent la complexité du chantier auront toujours pour but de rendre la sépulture royale plus sûre, ce qui conduira à l'invention de systèmes de protection de plus en plus élaborés, que ce soit contre le poids même du monument ou contre la convoitise des hommes et ce, dès l'Antiquité.

    Hérité des tombes précédant l'Ancien Empire, le dispositif souterrain se retrouve d'abord dans les pyramides à degrés. Une galerie creusée dans le sol menait directement à la salle du sarcophage creusée au fond d'une grande fosse située en dessous de la pyramide. Ce dispositif était comblé selon diverses méthodes, une fois les cérémonies de l'enterrement achevées afin d'en rendre l'accès impossible.

    C'est avec la pyramide de Meïdoum que pour la première fois le caveau royal est placé au cœur du massif de la pyramide. Dès ce moment, conscients des forces extraordinaires qui s'exercent autour de ces espaces laissés vides pour en permettre l'accès au moment des funérailles du roi, les architectes élaborent un système de décharge très poussé, à la fois en inventant la voûte en encorbellement protégeant la salle du sarcophage, mais également en doublant les couloirs et salles d'un même dispositif superposé, assurant ainsi une protection efficace à l'ensemble. On remarquera que c'est à dater de cette époque que l'orientation est-ouest de la chambre funéraire se fixe, le sarcophage étant placé à l'ouest. C'est également à la même époque, plus précisément sous le règne de Khéops, que les murs et plafonds sont conçus en granite rouge d'Assouan, dans un double objectif de solidité et de sécurité.

    L'expérience sera poursuivie et perfectionnée pour les grandes pyramides du début de la IVe dynastie, d'abord à Dahchour par Snéfrou, puis à Gizeh par Khéops. La distribution interne de la Grande Pyramide est d'une complexité unique qui ne sera pas répétée par la suite.

    En effet, avec Djédefrê à Abou Rawash, une solution radicalement différente est employée, les architectes préférant assurer l'intégrité du caveau par un nouveau type de dispositif souterrain protégé par une voûte en chevrons dont l'invention récente apparut sans doute comme le système le plus sûr. Une grande fosse, à laquelle on accédait par une descenderie, était creusée à ciel ouvert. Une fois le sarcophage installé au fond de cette fosse, on bâtissait les murs en granite de la chambre funéraire, de ses annexes et des corridors y menant. L'ensemble achevé, le reste de la fosse était comblé jusqu'à la surface de blocs de calcaire formant le noyau de la pyramide qui s'élevait par-dessus.

    Si Khéphren et Mykérinos ne suivirent pas cet exemple, revenant à une distribution interne alliant le creusement de galerie et l'aménagement d'une partie du dispositif dans le massif de la pyramide, le modèle de la pyramide de Djédefrê sera pourtant repris à la dynastie suivante, à dater du règne d'Ouserkaf, puis pour toute la fin de l'Ancien Empire. Le schéma sera presque identique à chaque fois. Une descenderie aménagée dans le sol de la face nord de la pyramide accède à un premier corridor dont le parcours est barré par une chambre des herses, puis mène droit à une antichambre qui distribue à l'est des magasins et à l'ouest le caveau funéraire.

    Avec le Moyen Empire le système se perfectionnera, notamment avec la mise au point d'une protection du caveau réputée inviolable, en plaçant l'accès aux appartements funéraires sur d'autres faces de la pyramide et en développant le système de fermeture des couloirs par des herses ainsi que celui du sarcophage. Si le début de la XIIe dynastie voit se répéter des schémas de distributions internes classiques de l'Ancien Empire, des plans différents se succédant jusque la XIIIe dynastie font montre d'une recherche inédite depuis la IVe dynastie.
    - La chambre funéraire
    La chambre funéraire représente la dernière demeure du souverain devenu un nouveau dieu, adoré à l'égal des cinq divinités principales du royaume dans son temple accolé à la pyramide. Objectif ultime de l'édification de tout le complexe pyramidal elle verra son plan se fixer et ses dimensions évoluer à dater de la IVe dynastie et l'invention des pyramides à faces lisses. De plus c'est elle qui reçoit l'architecture la plus soignée, les matériaux les plus nobles de l'ensemble pyramidal.

    Au début avec les règnes glorieux de la IVe dynastie la chambre funéraire est bâtie en granite, pierre réputée pour sa grande résistance et matériaux par excellence des grands projets des pharaons qui choisiront Gizeh ou Abou Rawash pour y installer leur complexe pyramidal.

    Il apparaît très rapidement nécessaire de mettre au point une méthode efficace pour mettre à l'abri cette chambre funéraire de la masse extraordinaire qui la recouvrait et les architectes chercheront sans relâche à la rendre indestructible et inaccessible. Ils concentrent alors leurs efforts sur la mise au point de système de protection tant au niveau architectonique avec les voûtes en encorbellement ou en chevrons qu'en termes d'inviolabilité avec le perfectionnement du système de blocage des accès aux moyens de herses que l'on souhaitait suffisamment dissuasives pour détourner toute convoitise du trésor qu'elle enfermait.

    Avec la Ve dynastie la chambre funéraire est littéralement enterrée en dessous de la pyramide, son accès par un unique couloir devenu souterrain est systématiquement protégé par un passage à une herse dont le nombre standard sera triplé à la dynastie suivante tout comme le plan même de la chambre funéraire précédée d'une antichambre distribuant d'autres pièces annexes. C'est à cette époque que la chambre funéraire reçoit pour la première fois, profondément gravés dans la pierre, les textes des pyramides. Ces longues colonnes de hiéroglyphes forment un corpus théologique très élaboré entièrement consacré à la résurrection du roi. Les dernière études réalisées ont révélé également leur lien étroit avec l'architecture même de la chambre funéraire et de l'antichambre qui la précédait démontrant non seulement que chaque élément de la tombe avait un rôle précis mais également que ces textes avaient été élaborés bien avant leur première apparition dans le caveau d'Ounas.

    Avec la XIIe dynastie, dernière grande période de construction de pyramides à faces lisses, ces recherches s'accentuent, les pillages des nécropoles royales de l'Ancien Empire ayant déjà eu lieu et démontré la nécessité de rendre le caveau de plus en plus inaccessible quitte à rompre avec les principes immuables qui présidaient à son architecture. Ainsi non seulement l'accès à la chambre est modifié, mais afin de tromper les éventuels pillards à venir, de nombreux corridors et passages sont barrés par des herses ou bien dissimulés dans le sol d'une chambre surplombant la véritable chambre funéraire.

    Ces efforts s'expliquent par la richesse du contenu de la chambre funéraire royale. Elle est littéralement habitée par le sarcophage royal accompagné de tout le viatique funéraire nécessaire et complémentaire. Ce mobilier à vocation prophylactique avait pour rôle essentiel de rendre efficace le retour de l'âme du roi dans un corps rendu inaltérable autant par les pratiques de momification qu'il subissait que par la symbolique religieuse, presque magique, qui l'entourait.

    Si aucun mobilier royal que ce soit de l'Ancien Empire ou du Moyen Empire n'a été découvert intact certaines découvertes de mobilier ou vestiges de viatiques funéraires contemporains, notamment de la famille royale, laissent imaginer avec quel faste Pharaon était accompagné dans son dernier voyage vers l'Occident et le royaume d'Osiris.

    Pour l'Ancien Empire seule la cachette d'Hétep-Hérès Ire, la mère de Khéops, peut nous donner une idée du luxe qui entourait un personnage royal au début de la IVe dynastie. Cependant, le sarcophage de la reine ayant été découvert vide et le mobilier découvert à proximité ne devant représenter qu'une partie du viatique prévu initialement, l'élément principal de ce mobilier fait défaut pour cette époque.

    Pour le Moyen Empire, les trésors découverts au XIXe siècle par Jacques de Morgan de la reine Méreret et des princesses Senet-senebetes, Menet et Sithator dans leurs tombes, illustrent les richesses enterrées à cette période avec les membres de la famille royale mais ne représentent qu'une infime partie des biens qui les entouraient nous livrant néanmoins un inestimable témoignage de la joaillerie de l'époque.

    Enfin la chambre funéraire du pharaon Aouibrê Hor, que l'on hésite encore à situer entre la fin de la XIIe dynastie et la XIIIe dynastie, a été découverte presque intacte contenant la précieuse relique dans son sarcophage interne. Malgré une certaine modestie dans son contenu, liée probablement à la brièveté du règne et à la période de troubles dans lequel il s'inscrit, cette découverte représente la seule sépulture royale relativement complète de cette période où l'on inhumait Pharaon à l'ombre d'une pyramide.
    - Les corridors et chambres annexes
    L'accès à la chambre funéraire se faisait depuis l'entrée de la pyramide au moyen de corridors soit aménagés et donc maçonnés dans le massif de la pyramide, soit creusés dans le plateau rocheux supportant le monument. Avec Snéfrou à Dahchour les corridors occupent une place importante qui se développera de manière unique et monumentale dans la distribution interne de la pyramide que Khéops fait construire à Gizeh, la grande galerie de sa pyramide pouvant être assimilée à un de ces éléments de communication vers la chambre funéraire du roi.

    En général ces corridors étaient étroits et n'avaient pas d'autre vocation que de servir aux besoins de l'acheminement du sarcophage interne du roi et de son mobilier funéraire. Dans ces cas, ces corridors étaient obstrués au moyen de blocs bouchons ou de herses afin d'en rendre l'accès impossible après les funérailles.

    D'autres couloirs existaient par ailleurs dans l'objectif de mettre en lien la chambre funéraire avec les annexes destinées à abriter le mobilier funéraire. Dans la mentalité religieuse des anciens égyptiens, il était essentiel que le défunt puisse avoir accès à ce mobilier destiné à l'accompagner dans sa vie dans l'au-delà. Il n'y avait donc aucun système de fermeture à ce niveau, le passage devant être libre afin de faciliter la communication entre la chambre funéraire et ces magasins.

    L'état de dévastation de la pyramide de Djédefrê en Abou Rawash ne permet pas de se faire une idée claire de la distribution interne de ce monument et l’on connaît mieux celle de ses successeurs. Exception faite de la pyramide de Khéphren, dont la distribution interne est d'une simplicité singulière, le complexe de Mykérinos et celui de Chepseskaf offrent chacun un plan comprenant une série de magasins reliés à la chambre funéraire. Avec Ouserkaf, les annexes sont placées en amont de l'antichambre et du caveau royal, accessibles par un petit couloir placé après la chambre des herses qui barre l'accès depuis le corridor d'entrée de la pyramide.

    Les pyramides qui lui succéderont en Abousir présentent toutes un plan homogène constitué d'un long corridor traversant une chambre munie d'une ou plusieurs herses menant directement à une antichambre qui donne accès à au caveau royal. Aucun magasin et autres annexes n'avaient été prévus pour ces pyramides. Ce n'est qu'à la fin de la Ve dynastie que les annexes réapparaissent et que leur plan se standardise avec notamment la pyramide de Djedkarê Isési puis celle d'Ounas à Saqqarah. Le couloir d'accès une fois la chambre des herses dépassée mène à l'antichambre qui distribue sur son côté ouest la chambre funéraire et sur son côté est un dernier couloir menant à une série de magasins disposés en dents de peigne. Cette distribution sera systématiquement reproduite par les pharaons de la VIe dynastie. Si l'antichambre reçoit à cette époque les longues litanies des textes des pyramides à l'instar de la chambre funéraire, les magasins restent anépigraphes démontrant qu'ils n'occupaient alors aucun rôle rituel précis mais simplement celui d'entrepôt du mobilier funéraire.
    - Système de fermeture
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    Description : Système de fermeture avec herse de la pyramide rhomboïdale à Dahchour
    Date : 1882
    Source : histoire de l'art dans l'antiquité (1882) perrot et chipiez
    Auteur : Perring
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    Des systèmes visant à protéger les pyramides des violateurs de sépultures ont été inventés bien avant l'âge des pyramides, puisqu'on retrouve des herses dans nombre de mastabas de la Période thinite. Ce sont sans doute ces premiers mécanismes archaïques qui inspireront les chambres à herse présentes dès la IVe dynastie. Imhotep opta pour la condamnation du caveau de Djéser par un gros bouchon de granite. Son caveau souterrain fut ensuite recouvert de centaines de mètres cubes de blocs de calcaire.

    Nous ne connaissons rien des intentions des successeurs de Djéser durant la IIIe dynastie en matière de sécurité, aucun n'ayant pu achever leur édification. Il est curieux de constater que les premières pyramides à faces lisses de la IVe dynastie laissèrent la voie entièrement libre aux profanateurs qui n'eurent à franchir qu'une simple «pierre amovible» située sur la face nord. Des violations répétées de tombeaux appartenant à la famille royale ont dû encourager Khéops et ses architectes à trouver des solutions nouvelles et efficaces afin de protéger la chambre funéraire. Les trois blocs bouchons de la grande pyramide, encore en place, représentent une de ces solutions. Celle-ci fut jugée insuffisante puisqu'elle fut renforcée plus haut par une chambre des herses (au nombre de trois), dotée à l'origine d'un mécanisme composé de rondins et de cordes et qui fut bien plus tard reproduite, toutefois améliorée et simplifiée. La pyramide de Khéphren marqua un bref retour à l'économie de moyens, puisqu'une seule herse en granite, de trente centimètres d'épaisseur seulement, bloquait l'accès aux appartements. Mykérinos reprit le modèle de la chambre des herses de Khéops, que l'on retrouve sous sa forme définitive chez son successeur Chepseskaf : trois herses coulissantes maintenues en suspension par de petits blocs placés latéralement. C'est ce système qui connut le plus grand succès puisque tous les pharaons de la VIe dynastie en doteront leurs tombeaux.

    Le retour du tombeau à forme pyramidale, au début de la XIIe dynastie, marque une certaine maladresse et une inexpérience comblées par l'imitation de l'œuvre des ancêtres. C'est la solution la plus simple et la plus radicale qui fut opérée à Licht: les couloirs descendants, menant droit à la chambre funéraire furent comblés sur toute leur longueur de gros blocs de granite. Sésostris II jugea plus utile de camoufler l'entrée de l'infrastructure et de la situer ailleurs que sur la face nord. Par ailleurs, de même que son successeur Sésostris III, il en négligea la protection. Amenemhat III ne sécurisa pas non plus sa Pyramide de Dahchour, mais il changea de politique pour sa pyramide située à Hawara. Il reprit à son compte la très ancienne innovation des architectes de Snéfrou consistant à faire coulisser un énorme bloc sur un plan incliné afin de bloquer un passage.

    À partir de ce règne, tous les pharaons doteront leur pyramide d'au moins deux chambres à herse coulissante. Mais en plus, ceux-ci doteront leur caveau du plus ingénieux des systèmes de condamnation. Taillé dans un énorme monolithe de quartzite (le plus lourd connu pesant plus de 150 tonnes), le caveau était recouvert de trois grandes dalles dont l'une restait suspendue jusqu'au jour des funérailles. Cette dalle reposait sur deux blocs de quartzite, chacun étant posé sur deux cavités remplies de sable. Il suffisait d'évacuer le sable par deux accès latéraux situés au fond de ces deux cavités afin d'abaisser la dalle suspendue et, de la sorte, condamner le caveau. Cette opération très délicate, basée sur l'utilisation du sable comme vecteur de construction, était de longue date parfaitement maîtrisée par les anciens Égyptiens. Le plus ancien caveau de ce type connu se trouve dans la pyramide d’Amenemhat III à Hawara

    - Sarcophage
    Le sarcophage se distingue, dans le langage courant, du cercueil, dans le sens où le premier est fait de pierre et le second de bois. En considérant cela, les sarcophages les plus anciens que l'on ait découverts dans une pyramide sont ceux du complexe funéraire de Djéser à Saqqarah. Au nombre de deux, ces sarcophages d'albâtre devaient contenir les corps de deux membres de la famille royale. La dépouille du pharaon fut sans aucun doute placée dans un cercueil (donc en bois), lui-même introduit dans le caveau de granite. Son successeur Sékhemkhet devait être inhumé dans le sarcophage d'albâtre gisant sous sa pyramide, mais cette dernière est restée inachevée. Curieusement, les trois grandes pyramides que l'on attribue à Snéfrou ne contiennent ni sarcophage, ni cercueil, ni fragment nous permettant de conclure qu'il fut bien enseveli dans l'une d'elles.

    La pyramide de Khéops recèle toujours un sarcophage de granite. Son couvercle a disparu et son exécution n'est pas à la hauteur du monument qui le renferme. Celui de Khéphren, toujours muni de son couvercle et encastré dans le sol de la chambre funéraire, fut exécuté sur le même modèle et bénéficia d'une meilleure attention ou d'une plus grande expérience de la part de ses sculpteurs. Le prédécesseur (ou le successeur) de Khéphren, Nebkarê avait commandé un sarcophage d'une forme inhabituelle et unique dans les tombes royales égyptiennes, un sarcophage en granite de forme ovale et taillé dans un bloc monolithique du pavement de la chambre funéraire.

    Le règne de Mykérinos marque un tournant dans cet art funéraire, jusque là balbutiant. Le sarcophage de basalte fut pour la première fois orné, sculpté sur ses quatre faces d'un motif en façade de palais. Ce joyau décrit par leurs découvreurs John Shae Perring et Howard Vyse fut malheureusement perdu en mer, suite au naufrage du bateau qui l'emmenait en Angleterre. Chepseskaf suivra l'exemple de son prédécesseur.


    Le successeur de ce dernier, Ouserkaf, marqua le retour à une certaine austérité avec l'abandon de l'ornementation. Elle réapparut sous une nouvelle forme lors du règne du premier pharaon de la VIe dynastie, Téti, dont la pyramide fut la deuxième pyramide à textes. Le sarcophage se trouva imprégné, à l'instar des parois de la chambre funéraire, des vertus magiques du texte gravé. Les caractères hiéroglyphiques étaient recouverts d'une mince pellicule d'or. Ici placé à l'intérieur de la cuve, le texte fut gravé sur les faces extérieures pour Mérenrê et ses successeurs jusqu'à Pépi II, dernier pharaon de l'Ancien Empire.

    Les sarcophages du début du Moyen Empire sont du type décoré avec un motif de mur d'enceinte à redans, suivant le modèle des enceintes de la IIIe dynastie. À partir d'Amenemhat III, le sarcophage est difficilement dissociable de la chambre funéraire, puisque cette dernière ne se limite plus qu'à une énorme cuve monolithique. La cuve est évidée de manière à ce que le sarcophage et la caisse à canopes soient intégrés à celle-ci, les couvercles restant les seules pièces amovibles de cet ensemble.


    Jusqu'à la XIIIe dynastie, quelques pyramides contiendront encore des sarcophages, mais de conception plus modeste et plus classique, sans ornementation, signe du déclin de la société égyptienne.

    - Les voûtes
    Afin de protéger les appartements funéraires et les couloirs d'accès de l'énorme masse que représentait la maçonnerie de la pyramide, les architectes de l'ancienne Égypte ont dû transposer dans la pierre un art déjà très ancien remontant à la Ire dynastie. L'art de la voûte ne fut donc pas inventé sous l'Ancien Empire, mais il connut à cette époque des progrès considérables. C'est sans doute l'aspect technique (et encore visible) le plus impressionnant. En effet, à Abousir, la pyramide de Sahourê contient une voûte composée de blocs de calcaire pesant plus d'une centaine de tonnes.

    Trois types de voûtes furent mis en œuvre : la voûte en encorbellement (ou en tas de charge), la voûte en chevrons en pierre, et enfin la voûte en berceau en briques.

    La première pyramide à se doter d'une voûte est la pyramide de Meïdoum. La chambre funéraire, les deux antichambres, ainsi qu'une partie du couloir descendant, sont couvertes chacune d'une voûte en encorbellement, s'inspirant ainsi des premières de ce type composées en briques dans plusieurs tombeaux de la période thinite. Le parallèle a déjà été fait entre l'escalier symbolisé par la pyramide et la forme de la voûte en encorbellement représentant en quelque sorte une pyramide vue de l'intérieur. Cependant, rien ne permet d'affirmer que les constructeurs avaient cette intention et, de plus, cette technique est bien antérieure aux pyramides.

    L'architecte Gilles Dormion a constaté que la voûte était préconisée pour protéger tout volume dont la largeur dépassait deux coudées. Les architectes de Snéfrou perfectionnèrent ce procédé délicat à mettre en œuvre, puisque la qualité du système repose sur l'agencement très précis des blocs constituant les parois. Ainsi, dans la pyramide rhomboïdale, les voûtes sont en encorbellement sur quatre faces. La technique fut parfaitement maîtrisée à la pyramide rouge, puis à la pyramide de Khéops, protégeant dans celle-ci la niche de la chambre de la reine et la grande galerie, une des grandes merveilles architecturales de l'Ancien Empire. Ce fut la dernière utilisation de cette technique. La raison de cet abandon est sans doute double : tout d'abord la grande difficulté de mise en œuvre, ensuite l'apparition d'une nouvelle technique de couverture, la voûte en chevrons de pierre.

    La voûte en chevrons a deux versants opposés constitués d'éléments en forme de V renversé. La plus ancienne connue protège l'entrée de la grande pyramide. Elle forme également le toit de la chambre de la reine et de la cinquième chambre de décharge (dite de Campbell). Alliée, exceptionnellement dans cette pyramide, à la voûte en encorbellement, elle la supplante définitivement dans les pyramides postérieures à la grande. Son utilisation fut généralisée dans les pyramides principales jusqu'à la fin du Moyen Empire : seule une pyramide de reine bénéficia de cette technique, la pyramide du complexe funéraire d'Ouserkaf.

    Durant les Ve et VIe dynasties, les voûtes en chevrons furent automatiquement triplées avec des blocs monolithiques de calcaire dont la taille pouvait atteindre dix mètres de long sur trois mètres de large et 4,50 mètres de hauteur. Cette technique a connu de nombreuses variantes, bien que techniquement et physiquement son principe restât le même. L'intrados de la voûte (ou versants inférieurs) fut peint dans la pyramide de Khéphren. Il fut sculpté, pour la première fois dans la pyramide de Mykérinos, de manière à lui donner un aspect curviligne. Chepseskaf en fit de même dans son mastaba. La voûte en chevrons à intrados curviligne ne fit sa réapparition que bien plus tard, au Moyen Empire dans la pyramide de Sésostris II.

    Les voûtes des pyramides à textes comportèrent, sur leurs versants inférieurs, un décor présentant des étoiles à cinq branches, gravées en creux, et peintes en bleu sur fond ocre-jaune dans le cas de la pyramide d'Ounas.

    Les pyramides du Moyen Empire comportent toutes des voûtes en chevrons sur une seule couche, mais renforcée par un épais linteau donnant au plan d'ensemble la forme d'un A. Le record du nombre de voûtes utilisées appartient à la pyramide d'Amenemhat III située à Dahchour puisqu'elle en comporte dix-sept.

    La voûte en berceau en briques avait pour seule fonction de répartir les charges du massif d'une pyramide, représentant un second système de soutien à la voûte en chevrons. Elle fut surtout utilisée au Moyen Empire.

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    Source : Article Pyramide à faces lisses de Wikipédia en français (auteurs)

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  5. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Histoire de la Géométrie
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    Suite de Géométrie dans l'Égypte antique


    Observation mathématique
    de la pyramide de Khéops



    La pyramide de Khéops a été scrutée et mesurée jusque dans ses moindres détails par des scientifiques issus de différents domaines, et ce, depuis le début du XIXe siècle. De ces mesures ont découlé de nombreuses théories imputant aux anciens Égyptiens la volonté d'inscrire des propriétés mathématiques dans les proportions de l'édifice.

    Conventions

    Afin de pouvoir comparer les différents résultats et d'analyser les intentions des anciens Égyptiens, les mesures sont exprimées en coudées égyptiennes. La pyramide avait ainsi, à l'origine, une base de 440 coudées et une hauteur de 280 coudées. La pente de ses faces est alors donnée par le rapport 280/220 soit 14/11.


    L’origine de la pente 14/11 de la grande pyramide

    Cette pente de l'apothème de la pyramide n'est pas la seule qui fut mise en œuvre par les anciens Égyptiens pour la construction des pyramides. La pyramide de Meïdoum connut plusieurs changements de plans. Initialement conçue comme une pyramide à degrés, elle fut par la suite recouverte d'un parement lui ayant donné l'apparence d'une pyramide à faces lisses. La pente des faces de ses gradins était de 7/2 et le rapport entre la hauteur d'un gradin et sa largeur de 2/1 (ou 7/3,5). Le parement étant parallèle à la ligne joignant les sommets des gradins, sa pente est donc de 7/5,5 soit 14/11, valeur de la pente finale des faces de la pyramide. Cette valeur fut donc pour la première fois appliquée à la pyramide de Meïdoum mais ne constitue pas une règle chez les constructeurs de l'Ancien Empire puisque certaines pyramides ont une pente de 17/18 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khéphren) ou encore 7/5 (pyramide rhomboïdale).


    Le nombre
    [​IMG] et le nombre d’or

    Proportions de la grande pyramide

    [​IMG]


    Description :
    Calcul de la pente de la pyramide de Khéops
    Date : 2011-03-18 15:08 (UTC)
    Source : Kheops-maths1.jpg
    Auteur : Kheops-maths1.jpg : MONNIER Franck
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    Image originale :
    http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kheops-maths1.jpg
    Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre, la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
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    dans ce cas : J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre
    dans n'importe quel but, sans aucune condition,
    sauf celles requises par la loi.

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    Quand on étudie la géométrie de la grande pyramide, il est délicat de faire la distinction entre les intentions des constructeurs et les propriétés qui découlent des proportions de l'édifice. On mentionne souvent le nombre d'or et le nombre Pi inscrits dans les proportions de la pyramide : les Égyptiens ont, nous l'avons vu, choisi une pente pour les faces de 14/11

    Concernant le nombre d'or, la proportion de 14/11 entraîne
    un rapport
    apothème/demi-base égal à [​IMG], proche de

    [​IMG]

    .La valeur du nombre
    [​IMG] serait donnée par le rapport (demi-périmètre de la base)/hauteur. On obtient ainsi la valeur approchée [​IMG].

    Ces deux résultats découlent donc de l'utilisation d'une pente de 14/11. S'il faut y voir une volonté délibérée de les inscrire dans la construction, le mérite en reviendrait à l'architecte qui utilisa pour la première fois cette pente à la pyramide de Meïdoum, achevée sous le règne de Snéfrou. Mais cette proposition est peu plausible. D'après les quelques rares documents mathématiques recueillis à ce jour, les égyptiens de l'antiquité n'avaient aucune connaissance du nombre
    [​IMG] et n'utilisaient qu'un nombre de substitution 256/81=3,1605 pour calculer l'aire d'un disque.


    Relations de surfaces

    Relations pour le calcul des surfaces de la base et du niveau de la chambre du roi
    [​IMG]
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    Il existe une relation remarquable entre l'aire de la base de la pyramide et l'aire du niveau de la chambre du roi, dont le sol se situe à 82 coudées au-dessus du niveau du sol. L'aire de la base vaut 440² coudées², soit 193600 coudées² soit encore 2*96800 coudées². Les côtés du niveau de la chambre du roi valent 2×(220-82x11/14)=311,14 coudées. L'aire de ce niveau est donc égale à 96809,88 coudées².

    Première propriété : l'aire du niveau de la chambre du roi est égale, à 0,01 % près, à la moitié de l'aire de la base de la pyramide.

    De nombreuses relations sont également le fait de ce rapport 14/11. Tout d'abord, La circonférence du cercle, dont le rayon est la hauteur de la pyramide (soit 280 coudées), est égale au périmètre de la base de la pyramide (dont les côtés mesurent 440 coudées).

    En effet, la circonférence du cercle est donnée par 2×π×280=1759,3 coudées et le périmètre du carré par 440×4=1760 coudées.

    Deuxième propriété : Le périmètre de la base de la pyramide est égal, à 0,02 % près, à la circonférence du cercle dont le rayon est la hauteur de la pyramide. Observez que l'on obtient 0,00023 % d'erreur si l'on utilise le π=3,14285.

    L'aire des quatre faces de la pyramide, si l'on néglige le phénomène de creusement des faces au niveau de l'apothème, est donnée par :

    a × c / 2 soit 356,09×440/2=78339,8 coudées²
    et h²=280²=78400 coudées².
    Par conséquent ces deux valeurs sont égales à :
    2*(78400-78339,8)/(78400 +78339,8))=0,08 % près.

    Troisième propriété : L'aire de chacune des faces de la pyramide est égale, à 0,001 % près, à la hauteur de la pyramide élevée au carré.


    Observations mathématiques et astronomie
    - L’orientation de la pyramide suivant les quatre points cardinaux
    Il s'agit de la propriété la plus remarquable d'un point de vue technique, et tous s'accordent sur le fait qu'elle fut bien l'intention des constructeurs. C'est l'égyptologue Petrie qui, au XIXe siècle, est le premier à avoir attiré l'attention sur l'extraordinaire précision obtenue par les anciens Égyptiens. Les quatre faces mesurent à leur base : 230,454 m au sud, 230,253 m au nord, 230,357 m à l'ouest et 230,394 m à l'est. L'erreur obtenue pour un carré parfait est de seulement 20 cm (seulement 4,4 cm selon Mark Lehner). La pyramide est orientée suivant les quatre points cardinaux avec une erreur moyenne de 3'. L'erreur moyenne sur les angles droits de la base est également de 3'. La base de la pyramide a été nivelée avec une erreur de quelques centimètres.
    - La pyramide et l’étoile polaire

    La précession des équinoxes (position de l'étoile polaire)
    [​IMG]

    Description : Mise en évidence de la position d'alpha du dragon et de l'étoile polaire
    Source : self, 4 bit GIF
    Date : juin 2006
    Auteur : Tauʻolunga
    Autorisation : may copy, must mention
    Utilisateur : Bakha - (Attribution: I, Bakha)
    Date : 29 juillet 2007 à 07:59
    Ce fichier est disponible selon les termes de la licence Creative Commons
    Paternité – Partage des conditions initiales à l’identique 2.5 générique
    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons
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    La précession des équinoxes est un changement de direction de l'axe de rotation de la terre. Cet axe de rotation pointe actuellement vers l'étoile polaire, l'étoile la plus brillante de la constellation de la petite ourse. Cette précession a pour effet de provoquer un mouvement apparent des étoiles de la voûte céleste, et par conséquent de l'étoile polaire. Si l'on remonte à l'époque de la construction de la grande pyramide (v. -2650),la position de l'étoile polaire était très proche d'Alpha du Dragon (aussi appelée Thuban) de la constellation du Dragon. Cette étoile fut au point le plus proche de l'étoile polaire vers v. -2800, ne s'en éloignant que de 0,5°. De nombreux auteurs affirment que, le conduit nord de la chambre du roi ou la descenderie, pointaient vers l'étoile polaire de l'époque, Alpha du Dragon. Il y a un moyen très simple de déterminer l'angle d'inclinaison d'une galerie destinée à viser l'étoile polaire. Il faut que cet angle soit égal à la latitude du lieu où se trouve cette galerie, soit ici la latitude de la pyramide de Khéops qui est de 29°58'44". Or, d'une part l'angle de la descenderie est de 26°26'46", et d'autre part l'angle du conduit de ventilation nord de la chambre funéraire est de 32°30'.

    En conclusion ni les conduits, ni la descenderie ne pointait (ou ne pointe) le pôle céleste. Aucun d'entre eux ne pointant l'étoile Alpha du Dragon.
    - La pyramide et l’étoile Alnitak de la constellation d’Orion
    Il y eut de nombreuses théories visant à faire de la pyramide un observatoire astronomique. Les couloirs de ventilation côté sud auraient pointés pour l'un (celui de la chambre de la reine) vers l'étoile Sirius, et pour l'autre (celui de la chambre du roi) vers l'étoile Alnitak. Or le couloir de ventilation sud de la chambre du roi est incliné suivant un angle de 45° par rapport à l'horizontal. Il pointe donc un point du ciel dont l'altitude est égale à 45° alors que l'altitude de l'étoile Alnitak, à cette époque était de 44°23' à son zénith. Un écart de moins de 1° qui ne permettait pas cependant d'avoir une visée directe de l'étoile.
    - La pyramide et l’étoile Sirius de la constellation du Grand Chien
    Une autre théorie affirme que le conduit de ventilation sud de la chambre de la reine pointait l'étoile Sirius qui, à l'époque avait une altitude à sa culmination de 37°10'. Or ce conduit, incliné de 38°28', pointe un endroit du ciel dont l'altitude est égale à cette valeur angulaire, une position différente de Sirius de plus d'un degré.

    Toutes les étoiles du ciel (hormis l'étoile polaire) ont un mouvement apparent dû à la rotation de la terre sur elle-même, rotation complète effectuée en 24 heures. Ce mouvement implique que, si une étoile (Sirius ou Alnitak) était effectivement visée, alors le but n'était atteint que durant quelques dizaines de secondes, les étoiles étant animées de ce mouvement apparent qui semble les faire parcourir le ciel nocturne. De plus, les deux étoiles n'atteignent pas leur zénith en même temps, Sirius étant d'abord dans l’axe du couloir sud de la chambre de la reine, puis c’est au tour d’Alnitak d’être dans l’axe du conduit sud de la chambre du roi.


    La géométrie de la distribution interne
    - Les conduits de ventilation
    Une propriété géométrique semble avoir été voulue par l'architecte de la grande pyramide. Les conduits de ventilation de la chambre de la reine atteindraient tous les deux le même niveau de la pyramide. Ce fait est vérifié pour les conduits de la chambre du roi. Cette théorie s'oppose à celle, astronomique, exposée ci-dessus.

    Le conduit sud de la chambre de la reine est incliné d'un angle de 38°28' et le conduit nord, d'un angle de 37°28'. Ces deux conduits suivent donc le chemin le plus court parvenant à la surface de la pyramide. Ces angles correspondent, approximativement, à une pente de 11/14, l'inverse de la pente de 14/11 de l'apothème de la pyramide.

    Le conduit sud de la chambre du roi est incliné d'un angle de 45° correspondant à une pente simple de 1/1 et le conduit nord, d'un angle de 32°30' correspondant à une pente de 7/11.

    Géométrie des conduits de ventilation (selon Gilles Dormion)
    [​IMG]

    Description : géométrie des conduits de ventilation
    Date : 2011-03-18 13:47 (UTC)
    Source : Kheops-maths2.jpg
    Auteur : Kheops-maths2.jpg: MONNIER Franck
    derivative work : Malyszkz (talk)
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    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas :
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    Géométrie des conduits de ventilation (selon John Legon)
    http://upload.wikimedia.org/wikiped...-coupe-MATHS.jpg/800px-Kheops-coupe-MATHS.jpg

    John Legon a développé une théorie visant aussi à relever des propriétés géométriques induites par les dispositions des conduits. Mais ce dernier pousse le raisonnement plus loin en corrélant adroitement plusieurs points clefs du plan en coupe de la pyramide. Ses résultats, basés selon lui sur des tracés géométriques simples peuvent paraitre compliqués pour le néophyte et il demeure impossible de vérifier s'il s'agit de simples coïncidences ou bien des réelles intentions de l'architecte.
    Chambre du roi. Le niveau du sol se situe à 82 coudées. Le niveau des points d'intersection F et E des conduits avec le revêtement de la pyramide est à 154 coudées. La distance entre F et E vaut 2×(220-154×11/14)=198 coudées, valeur de BG (distance entre le sommet de la pyramide et le sol de la chambre du roi). La diagonale du plan du niveau de la chambre du roi vaut 2×(220-82×11/14):sin45°=440 coudées, valeur des côtés de la base de la pyramide. Le conduit nord à une pente de 7/11, valeur de la pente de la diagonale EL d'un rectangle ayant comme hauteur la distance du sommet de la pyramide jusqu'à l'intersection des conduits (126 coudées) et comme base 198 coudées.

    Inclinaisons des conduits. Soit le carré CJKA de 280 coudées de côtés. Le point F est le point d'intersection de la diagonale de ce carré avec le cercle de rayon CJ. Ce point F se trouve à 280xsin45°=198 coudées sous le sommet soit à 82 coudées du sol, donc au niveau de la chambre du roi. Soit le carré BDGH de 198 coudées de côtés. Les points d'intersection F et E du carré avec le revêtement de la pyramide déterminent l'emplacement des extrémités des conduits.
    - La chambre du roi
    Les dimensions au sol de la chambre du roi sont de 20x10 coudées. Sa hauteur est de 11,172 coudées. L'égyptologue Jean-Philippe Lauer a démontré que cette dernière valeur fut obtenue avec le triangle rectangle ABC obtenu avec la diagonale du côté ABCD de la chambre (voir figure ci-contre). Cette diagonale correspond à un chiffre entier de 15 coudées. Par conséquent, la valeur de la hauteur AB est égale à 11,18 coudées (valeur proche à 0,01 coudée près) de la mesure effectuée dans la chambre. L'égyptologue remarqua également que cette diagonale AC de 15 coudées implique une diagonale du parallélépipède rectangle de la chambre de 25 coudées. Le triangle ACE possède ainsi les mêmes proportions que le triangle sacré égyptien dont les côtés valent 3, 4 et 5 coudées. Cette chambre possède également la particularité d'être située au niveau où la surface au sol de la pyramide est égale à la moitié de la surface de sa base (observation détaillée dans le paragraphe Relations de surfaces ci-dessus).


    [B]Critique de ces théories

    [/B]
    En 1988, dans Le Pendule de Foucault, puis dans un ouvrage de 1990 intitulé Les Limites de l'Interprétation, l'écrivain Umberto Eco tourne en ridicule l'interprétation à outrance des faits avérés ou légendaires de l'histoire, en tirant avec un égal succès des dimensions d'un simple kiosque à journaux pris au hasard dans sa rue le même genre d'informations de portée cosmique que certains se croient fondés à lire dans celles de la pyramide de Khéops. Il montre que lorsqu'on s'applique à essayer de trouver des nombres remarquables comme Pi, la trace des Cathares, des Templiers, de Jésus-Christ, ou la distance de la Terre à la Lune, on les trouve à coup sûr, même dans un kiosque à journaux.


    [SIZE=3]Voir également :[/SIZE]
    Le phénomène d'apothème
    coudées
    nombre d'or et le nombre Pi
    Alnitak
    précession des équinoxes
    Le Pendule de Foucault
    ______________________________

    Fin pour :
    Géométrie dans l'Égypte antique

    __________________

     

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