Histoire des Mathématiques - A travers les civilisations

Discussion dans 'Bibliothèque Wladbladi' créé par titegazelle, 2 Décembre 2012.

  1. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES


    L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au XVIIe siècle, le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du XIXe et surtout au XXe siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.

    Préhistoire

    L'os d'Ishango datant de plus de 20 000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication, mais cette interprétation reste sujette à discussions. Il est dit que les mégalithes en Égypte au Ve millénaire avant notre ère ou en Angleterre au IIIe millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie.

    L'ethnomathématiques est un domaine de recherche à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques qui vise entre autres à comprendre l'essor des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.

    Mathématiques préhistoriques

    Les mathématiques préhistoriques sont par essence mal connues. En effet, l'activité mathématique étant intellectuelle, elle ne laisse que rarement des traces exploitables par l'archéologie. Par exemple, on peut imaginer que l'homme a très tôt su compter sur les doigts ou imaginer des formes géométriques, mais rien ne permet de le prouver. De plus, les rares documents disponibles doivent être interprétés, ce qui est souvent malaisé : tel os marqué de treize traits est-il le signe de la connaissance des nombres premiers, un calendrier lunaire, un comptage d'objets ?

    Depuis la fin du XXe siècle cependant, la découverte de très anciens artefacts, l'avènement de l'ethnomathématiques (qui étudie notamment les activités mathématiques ou apparentées chez des peuples ne pratiquant pas l'écriture) ou la pédopsychologie (en étudiant l'apprentissage des mathématiques chez le jeune enfant) ont permis d'éclairer cette période peu connue de l'histoire des mathématiques. Cependant, les résultats obtenus sont à prendre avec précaution et souvent controversés.

    De plus l'élaboration d'une activité mathématique semble fortement liée à l'écriture (les premières traces écrites connues contiennent des nombres) donc sort rapidement de la période préhistorique.


    L'os d'Ishango

    L'exemple le plus frappant de la difficulté d'interpréter des traces archéologiques mathématiques scientifiquement, sans se laisser dépasser par l'imagination, est sans doute l'os d'Ishango.

    Il s'agit d'un fragment d'os de 10 cm de long découvert en 1950 dans la région d'Ishango, dans l'actuelle République démocratique du Congo par une équipe de fouilles belge. Cet os très ancien — il a été daté d'environ vingt mille ans avant le présent — porte des entailles régulièrement espacées réparties sur trois colonnes. Il a été exhumé avec d'autres objets d'une culture mésolithique mais est le seul de ce type, ce qui exclut toute comparaison, technique souvent féconde en archéologie. Il est conservé à l'Institut royal des Sciences naturelles de Belgique. Le fait que les entailles soient regroupées et très régulièrement espacées fait immédiatement penser à la représentation de nombres.

    De multiples interprétations en ont été faites : pour son inventeur, il prouverait une connaissance des nombres premiers, voire de l'arithmétique ; on y voit des opérations. D'autres l'ont interprété comme un calendrier lunaire ou plus simplement comme un bâton de comptage. On y a vu un signe de numération c'est-à-dire une prémisse de l'écriture, plus de dix mille ans avant la Mésopotamie. Ces nombreuses et parfois fantaisistes interprétations ont eu un fort impact médiatique, au point que ce petit os «est devenu l’emblème des Sciences et de la Recherche en Région de Bruxelles-Capitale» pour une opération Ishango destinée à promouvoir la science.

    Ainsi, le site ishango.be consacré à l'opération Ishango pose-t-il la question «Et si les mathématiques étaient nées, il y a 20?000 ans sur les rives des Grands Lacs africains ?» puis énumère différentes interprétations avant de conclure : «L'hypothèse est donc fascinante mais elle doit rester avant tout, faute d'autres preuves, sujet de méditation.» Cependant, le fait même que cet objet soit mathématique est sujet à caution.

    En Mésopotamie
    - Géométrie
    Les premières figures impliquant des carrés et des cercles entremêlés sont attestées sur des poteries du VIe millénaire av. J.-C. en Mésopotamie.
    - Des calculi à l'écriture
    Huit mille ans avant Jésus-Christ, l'essor rapide des cités-états mésopotamiennes du Néolithique incitèrent les habitants à utiliser des jetons en argile (ou calculi) de différentes formes pour dénombrer des objets lors de transactions commerciales. Ce système évolua peu à peu pour donner naissance à l'écriture. Les calculi, à l'origine simples formes coniques, devinrent plus complexes, décorés, et insérés dans des enveloppes d'argile séchée.

    [​IMG]

    Cette œuvre a été placée dans le domaine public par son auteur, Locutus Borg.

    Ceci s'applique dans le monde entier.
    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ; dans ce cas :
    Locutus Borg accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre
    dans n'importe quel but, sans aucune condition,
    sauf celles requises par la loi.

    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons

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    Ce procédé était destiné à vérifier la justesse des transactions. Ainsi, si une personne A doit envoyer six chèvres à une personne B, elle confie les six chèvres à un intermédiaire avec une enveloppe contenant six calculi. À l'arrivée, la personne B casse l'enveloppe et peut ainsi vérifier que le nombre de chèvres est le bon.

    Comment savoir si le nombre six désigne bien six chèvres et non cinq chèvres et un mouton ? La forme des calculi intervient : chaque type d'objet est lié à une forme de calculus. Ainsi, si l'expéditeur envoie cinq chèvres et un mouton, l'enveloppe devra contenir cinq calculi de type « chèvre » et un calculus de type «mouton».

    Mais ce système n'est pas encore parfait : comment être sûr que l'enveloppe a bien été scellée par A ? Les enveloppes sont cachetées avec des sceaux-cylindres qui identifient l'expéditeur.

    À la fin de IVe millénaire av. J.-C., la forme des calculi est imprimée sur l'enveloppe d'argile encore fraîche : ainsi, il n'est plus nécessaire de briser cette enveloppe pour connaître son message. Puis on se rend compte qu'il n'est plus nécessaire d'envelopper des calculi, puisque leur forme est représentée sur l'enveloppe. On se contente donc d'une tablette sur laquelle est apposée le sceau-cylindre signature et un certain nombre de pictogrammes représentant la quantité et la qualité de marchandise (cinq pictogrammes «chèvres» pour désigner cinq chèvres). L'écriture est probablement née ainsi.

    C'est la relative continuité de l'évolution des calculi aux pictogrammes (qui, rappelons-le, sont au début des impressions de calculi) qui a permis aux archéologues de reconstituer de façon relativement assurée la signification de ces premières formes d'argiles simples datées du VIIIe millénaire av. J.-C..

    Ethnomathématiques

    L'ethnomathématique est une jeune science qui étudie les activités mathématiques ou pseudo-mathématiques dans divers groupes sociaux, notamment les peuples actuels qui n'utilisent pas l'écriture. Contrairement à ce qu'on pourrait penser de prime abord, elle ne nous éclaire pas directement sur les mathématiques préhistoriques, mais permet plutôt d'infirmer certaines hypothèses.

    Par exemple une étude de Pierre Pica sur les amérindiens Mundurucus montre que ce peuple n'opère que difficilement avec de petits nombres entiers, alors que leur capacité à évaluer de grands nombres est égale à celle d'Européens ayant suivi une scolarité. Ainsi, l'a priori suivant lequel un peuple découvrirait les nombres par ordre croissant est erroné. On ne peut s'appuyer dessus pour étudier les documents archéologiques.


     
  2. titegazelle

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    De Sumer à Babylone



    On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au XIXe siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.). On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciens suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes.

    Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (XVIIIe siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique.


    Mathématiques babyloniennes

    Les mathématiques babyloniennes sont les mathématiques pratiquées par les peuples de l'ancienne Mésopotamie (dans l’Irak actuel), depuis l'époque des Sumériens jusqu'à la chute de Babylone en 539 av. J. Chr.. Alors que l'on ne dispose que de très rares sources sur les mathématiques en Égypte antique, notre connaissance des mathématiques babyloniennes s'appuie sur environ 400 tablettes d'argile mises au jour depuis les années 1850. Écrites en cunéiforme, ces tablettes furent travaillées sur de l'argile encore humide, puis cuites dans un four ou séchées au soleil. La plupart des tablettes qui nous sont parvenues datent de 1800 à 1600 av. J. Chr., et traitent de fractions, d’équations algébriques (équations du second degré et du troisième degré), de calculs d'hypoténuse et de triplets pythagoriciens voire, peut-être, de certaines lignes trigonométriques (cf. notamment la tablette Plimpton 322). La tablette YBC 7289 fournit une approximation de √2 précise à six décimales près.

    Numération babylonienne

    Le système de numération en usage chez les Babyloniens était de type sexagésimal («base 60»). C'est d'ailleurs des Babyloniens que nous avons hérité l'usage de diviser les heures en soixante minutes, et chaque minute en 60 secondes, et aussi de diviser la circonférence d'un cercle en 360 (60×6) degrés. Le développement des mathématiques chez les Babyloniens tient à deux choses ; tout d'abord, au fait que le nombre 60 est un nombre hautement composé, dont les nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, et 30, facilitent les calculs de fractions ; ensuite, à ceci que, contrairement aux Égyptiens et aux Romains, les Babyloniens (comme plus tard les Indiens) disposaient d'un authentique système à numération de position, où les chiffres les plus à gauche représentent les plus grandes valeurs (exactement comme dans notre système décimal : 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

    Deux signes étaient utilisés :
    [​IMG] pour désigner l'unité et [​IMG] pour la dizaine. On écrivait plusieurs [​IMG] pour les nombres jusqu'à neuf et plusieurs [​IMG] pour les dizaines, jusqu'à cinq dizaines. Il est à noter que les Babyloniens écrivaient de la même manière les nombres égaux à un facteur 60 près.

    Exemple :

    • [​IMG] pour 9 ou 9×60 ou 9×60×60 ou [SUP]9[/SUP]⁄[SUB]60[/SUB], etc.
    • [​IMG][​IMG] pour 17 ou 17×60, etc.
    • [​IMG][​IMG][​IMG] pour 89, ou [SUP]89[/SUP]⁄[SUB]60[/SUB], etc.


    Les mathématiques sumériennes (3000-2300 av. J. Chr.)

    Les premières traces d'écrits mathématiques remontent aux anciens Sumériens, qui développèrent la première civilisation de Mésopotamie. Ils mirent au point une métrologie élaborée dès 3000 av. J. Chr. À partir de 2600 av. J. Chr., ils dressent des tables de multiplication sur des tablettes d'argile et mettent par écrit des énoncés de problèmes géométriques et de division. C'est aussi de cette période que datent les premiers témoignages de numération babylonienne.

    Les mathématiques dans l'ancienne Babylonie (2000-1600 av. J. Chr.)

    C’est à la période paléo-babylonienne que se rattachent la plupart des tablettes à contenu mathématique, ce qui explique d'ailleurs pourquoi on a coutume d'appeler les mathématiques de Mésopotamie «mathématiques babyloniennes». Certaines tablettes comportent des listes ou des tableaux de nombres, d'autres des énoncés de problèmes et leur solution.

    Arithmétique

    - Multiplication
    Les Babyloniens utilisaient massivement les tables numériques pour le calcul et la résolution de problèmes d'arithmétique. Par exemple, deux tablettes trouvées à Senkerah sur l’Euphrate en 1854, datées de 2000 av. J. Chr., sont des listes des carrés d’entiers jusqu'à 59 et de cubes jusqu’à 32. Les Babyloniens s'en servaient pour effectuer les multiplications, avec les identités :

    [​IMG]
    [​IMG]


    - Division

    Les Babyloniens ne posaient pas de division. Pour ce genre de calcul, ils se ramenaient au produit :

    [​IMG]
    et recouraient à une table d’inverses. L’inverse des nombres n'ayant comme facteurs premiers que 2, 3 ou 5 (appelés « nombres 5-lisses » ou « nombres réguliers ») s'écrit avec un nombre fini de chiffres en écriture sexagésimale : or on a retrouvé un grand nombre de tables donnant les inverses de tels nombres entiers.
    Il faut se souvenir que [​IMG] pouvait désigner aussi bien ce que nous noterions 1 que 60 ou 60². Deux nombres étaient inverses l'un de l'autre lorsque leur produit était une puissance de soixante. Ainsi, l'« inverse » de [​IMG] (2) était [​IMG] (30) car 2×30 = 60. La table d'inverses classique était (en base 60 avec deux points ':' pour séparateur des chiffres) :


    [​IMG]
    où 6:40, qui désigne 6×60+40 est mis en relation avec 9 car 9×(6×60+40) = 3600 = 60². Donc 9 est l'inverse de 6×60+40 au sens babylonien du terme

    Au contraire, des inverses comme 1/7, 1/11, 1/13, etc. n'ont pas de représentation finie en écriture sexagésimale.
    Pour calculer 1/13 ou pour diviser un nombre par 13, les Babyloniens recouraient à une approximation de la forme


    .[​IMG].




    Algèbre


    Outre les calculs d'arithmétique, les mathématiciens Babyloniens imaginèrent aussi des algorithmes pour résoudre certaines équations algébriques. Là encore, ils recouraient à des tables numériques.

    Pour résoudre une équation du second degré, les Babyloniens se ramenaient fondamentalement à la forme canonique


    [​IMG]

    où les coefficients b et c ne sont pas nécessairement des entiers, mais où c est toujours positif. Ils savaient que la solution positive (la seule qui avait un sens pour eux) à une équation de cette forme s'obtient par la formule

    [​IMG]
    et se servaient de tables de carrés pour trouver les racines carrées intervenant dans cette formule. Parmi les énoncés concrets pouvant se ramener à ce type de calcul, il y avait celui demandant de trouver les dimensions d’un rectangle connaissant sa surface et l’excédent de sa longueur sur sa largeur.
    Certaines équations du troisième degré pouvaient être résolues à l'aide de tables de n3+n2. Par exemple, soit l’équation

    [​IMG]
    Multipliant l’équation par a[SUP]2[/SUP] et la divisant par b[SUP]3[/SUP], on obtient

    [​IMG]
    Substituant y = ax/b, cela donne


    [​IMG]

    équation que l'on peut résoudre en consultant une table de n3+n2 pour trouver la valeur la plus proche du second membre. Les Babyloniens exécutaient ces calculs sans véritablement poser les opérations algébriques, ce qui témoigne d'une remarquable capacité de concentration. Cependant, ils n'avaient pas d'algorithme général pour résoudre une équation du troisième degré quelconque.


    Géométrie


    Il est possible que les Babyloniens aient disposé de règles générales pour calculer la surface et le volume de certaines figures géométriques. Ils calculaient la circonférence du cercle en prenant trois fois le diamètre, et la surface du cercle en prenant un douzième du carré de la circonférence, ce qui revient à prendre pour p la valeur que l'on trouve aussi dans la Bible, à savoir 3. Le volume d'un cylindre était calculé en formant le produit de sa base par sa hauteur ; par contre, le calcul du volume du cône tronqué ou de la pyramide à base carrée était incorrect : les Babyloniens formaient le produit de la hauteur par la demi-somme (c'est-à-dire la moyenne) des bases. Ils connaissaient le théorème de Pythagore en tant que formule, sans que l'on ait trace d'une démonstration en tant que telle. On a découvert récemment une tablette où l'on prend pour π la valeur 3 + 1/8. Les Babyloniens mesuraient les distances en utilisant le mille babylonien, représentant environ 10 km. Cette unité de mesure avait un équivalent horaire, ce qui permettait de convertir les positions du Soleil dans le ciel en heure du jour.


    Trigonométrie

    Si les anciens Babyloniens connaissaient depuis des siècles l’égalité des rapports entre les côtés de triangles semblables, le concept d’angle leur était étranger : aussi se ramenaient-ils à des considérations sur les longueurs des côtés.
    Les astronomes babyloniens tenaient une chronique précise des levers et couchers des étoiles, du mouvement des planètes et des éclipses solaires et lunaires, autant de précisions qui supposent une familiarité avec les distances angulaires mesurées sur la sphère céleste.

    Les Babyloniens paraissent avoir été les premiers à utiliser les lignes trigonométriques, comme en témoigne une table de nombres portés sur une tablette en écriture cunéiforme, la Tablette Plimpton 322 (circa 1900 BC), qu'on peut interpréter comme une table trigonométrique de sécantes.

    La tablette Plimpton 322
    [​IMG]
    Description : Plimpton 322, Babylonian tablet listing pythagorean triples
    Date : 1800 BCE =) (uploaded 13 September 2006)
    Source : image copied from http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html
    Auteur : photo author unknown
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    Avec la redécouverte de la civilisation babylonienne, il est apparu que les mathématiciens et les astronomes grecs de la période classique et hellénistique, en particulier Hipparque de Nicée, ont beaucoup emprunté aux Chaldéens.

    Franz Xaver Kugler, par exemple, a montré la chose suivante : Ptolémée, dans l’Almageste, indique qu’Hipparque a corrigé la durée des phases de la Lune transmises par «des astronomes encore plus anciens» en rapportant les observations des éclipses faites auparavant par «les Chaldéens» aux siennes. Or, Kugler a montré que les périodes que Ptolémée attribue à Hipparque étaient déjà utilisées dans des éphémérides babyloniens, à savoir le recueil nommé «Système B» (parfois attribué à Kidinnu). Apparemment, Hipparque s'est borné à confirmer par ses observations l'exactitude des valeurs de périodes qu'il avait lues dans les écrits des Chaldéens.

    Il est évident qu’Hipparque (et Ptolémée à sa suite) disposait d'une liste complète des observations d’éclipses sur plusieurs siècles. Celles-ci avaient très probablement été compilées à partir des «tablettes-journaux», tablettes d'argile contenant toutes les observations significatives effectuées au jour le jour par les Chaldéens. Les exemplaires préservés datent de 652 av. J. Chr. à 130 de notre ère, mais les événements célestes qui y sont consignés remontent très probablement au règne du roi Nabonassar : car Ptolémée fait commencer sa chronologie au premier jour du calendrier égyptien, la première année du règne de Nabonassar, c’est-à-dire le 26 février 747 av. J. Chr.

    Il n'a pas dû être facile d'exploiter toute cette masse d'observations, et il n'est pas douteux que les Chaldéens eux-mêmes se servaient de tables abrégées contenant, par exemple, uniquement les éclipses observées (on a trouvé quelques tablettes portant une liste de toutes les éclipses sur une période correspondant à un «saros»). Ces tables leur permettaient déjà de constater le retour périodique de certains phénomènes. Parmi les périodes utilisées dans le recueil du «Système B» (cf. Almageste IV.2), on trouve :

    223 mois (synodiques) = 239 passages au périgée (mois anomalistique) = 242 passages sur la ligne des nœuds (mois draconitique). Cette période est appelée période de saros : elle est très pratique pour calculer les périodes d'occurrence des éclipses.
    251 mois (synodiques)= 269 passages au périgée
    5458 mois (synodiques)= 5923 passages à la ligne des nœuds
    1 mois synodique = 29;31:50:08:20 jours (dans le système sexagésimal; 29.53059413… jours en numération décimales = 29 jours 12 heures 44 min 3⅓ s)
    .​

    Les Babyloniens exprimaient toutes les périodes en mois synodiques, probablement parce qu'ils utilisaient un calendrier luni-solaire. Le choix des intervalles entre les phénomènes célestes périodiques survenant en l'espace d'une année donnait différentes valeurs pour la longueur d'une année.

    De même, on connaissait plusieurs relations entre les périodes des planètes. Les relations que Ptolémée attribue à Hipparque avaient déjà servi pour des prédictions retrouvées sur des tablettes babyloniennes.

    Toutes ces connaissances passèrent aux Grecs, sans doute peu après la conquête d’Alexandre le Grand (-331). Selon le philosophe Simplicius (début du VIe siècle), Alexandre avait ordonné la traduction des éphémérides astronomiques chaldéens, et en avait confié la supervision à son biographe Callisthène d’Olynthos, qui les envoya à son oncle Aristote. Si Simplicius ne nous offre qu'un témoignage tardif, son récit n'en est pas moins fiable, car il passa quelque temps en exil à la cour des Sassanides, et a pu avoir accès à des sources documentaires ayant disparu en Occident. Ainsi il est frappant qu'il emploie le titre tèresis (en grec: «veille»), étrange pour un livre d'histoire, mais qui constitue une traduction précise du babylonien massartu qui signifie «monter la garde» mais également «observer». Quoi qu'il en soit, c’est vers cette époque que Calippe de Cyzique, un élève d’Aristote, proposa l’emploi d'un cycle de 76 ans, qui améliore le cycle de Méton, d'une durée de 19 ans. Il faisait démarrer la première année de son premier cycle au solstice d’été (28 juin) de l'an 330 av. J. Chr. (date julienne prolepse), mais par la suite il semble qu'il ait compté les mois lunaire à partir du mois suivant la victoire d’Alexandre à la bataille de Gaugamèles, à l'automne 331 av. J. Chr. Ainsi, Calippe a pu obtenir ses données de sources babyloniennes, et il est donc possible que son calendrier soit antérieur à celui de Kidinnu. On sait par ailleurs que le prêtre babylonien connu sous le nom de Bérose écrivit vers 281 av. J. Chr. une histoire (à caractère plutôt mythologique) en grec de la Babylonie, les Babyloniaca, dédiées au nouveau monarque Antiochos Ier ; et l’on dit qu’il fonda par la suite une école d’astrologie sur l’île grecque de Cos. Parmi les autres auteurs qui ont pu transmettre aux Grecs les connaissances babyloniennes en astronomie-astrologie, citons Soudinès qui vivait à la cour du roi Attale Ier Sôter à la fin du IIIe siècle av. J.-C..

    Quoi qu’il en soit, la traduction de ces annales astronomiques exigeait une connaissance profonde de l’écriture cunéiforme, de la langue et des méthodes, de sorte qu’il est vraisemblable qu'on a confié cette tâche à un Chaldéen dont le nom ne nous est pas parvenu. Les Babyloniens, en effet, dataient leurs observations dans leur calendrier luni-solaire, dans lequel la durée des mois et des années n'est pas fixe (29 ou 30 jours pour les mois ; 12 ou 13 mois pour les années). Qui plus est, à cette époque ils n’utilisaient pas encore de calendrier régulier (fondé par exemple sur un cycle, comme le cycle de Méton), mais faisaient démarrer un mois à chaque nouvelle lune. Cette pratique rendait fastidieux le calcul du temps séparant deux événements.

    La contribution d’Hipparque a dû consister à convertir ces données en dates du calendrier égyptien, qui est fondé sur une année d'une durée fixe de 365 jours (soit 12 mois de 30 jours et 5 jours supplémentaires) : ainsi le calcul des intervalles de temps est beaucoup plus simple. Ptolémée datait toutes ses observations dans ce calendrier. Il écrit d’ailleurs que «Tout ce qu'il (=Hipparque) a fait, c'est une compilation des observations des planètes ordonnée de façon plus commode.» Pline l'Ancien, traitant de la prédiction des éclipses écrit : «Après eux(=Thalès) les positions des deux astres (=le Soleil et la Lune) pour les 600 années à venir furent annoncées par Hipparque, …» Cela doit vouloir dire qu'Hipparque a prédit les éclipses pour une période de 600 ans, mais étant donné l'énorme quantité de calculs que cela représente, c'est très peu probable. Plus vraisemblablement, Hipparque aura compilé une liste de toutes les éclipses survenues entre le temps de Nabonasser et le sien.

    Voici d'autres traces de pratiques babyloniennes dans l’œuvre d’Hipparque :
    • Hipparque est le premier auteur grec à avoir divisé le cercle en 360 degrés de 60 minutes.
    • il est le premier à avoir utilisé systématiquement la numération sexagesimale.
    • il a utilisé le pechus (« coudée »), unité d'angle de 2° ou 2½° d'ouverture.
    • il a utilisé la courte période de 248 jours = 9 mois anomalistiques.


    Mathématiques babyloniennes et mathématiques alexandrines

    À l’époque hellénistique, les mathématiques et l’astronomie babylonienne exerçaient une influence profonde sur les mathématiciens d’Alexandrie, dans l’Égypte des Ptolémée comme pendant la période romaine de l'Égypte. Cette influence est particulièrement évidente dans les écrits astronomiques et mathématiques d’Hipparque, de Ptolémée, de Héron d'Alexandrie et de Diophante. Dans le cas de Diophante, l’héritage babylonien est tellement visible dans ses Arithmetica que certains chercheurs ont avancé qu'il avait pu être un «Babylonien héllenisé». De même, l'empreinte babylonienne sur l'œuvre de Héron a laissé soupçonner que ce savant était peut-être d'origine phénicienne.


    Les mathématiques en Mésopotamie après l’invasion musulmane

    Après la conquête musulmane de la Perse, la Mésopotamie prit le nom arabe d’Irak. Sous le califat abbasside, la capitale de l’empire fut transférée à Bagdad, ville fondée en Irak au VIIIe siècle. Du VIIIe siècle au XIIIe siècle, période fréquemment désignée comme l’ «Âge d'or de l’Islam», l’Irak-Mésopotamie retrouva le statut de centre de l’activité mathématique. Nombre des plus grands mathématiciens de l'époque travaillaient en Irak, parmi lesquels :
    Al-Khawarizmi, Al-Abbas ibn Said al-Jawhari, 'Abd al-Hamid ibn Turk, Al-Kindi (Alkindus), Hunayn ibn Ishaq (Johannitius), les frères Banou Moussa, la dynastie des Thabit ibn Qurra, Albatenius, les Frères de Pureté, Al-Saghani (en), Abu Sahl al-Quhi, Ibn Sahl, Abu Nasr Mansur ibn Iraq, Alhazen, Ibn Tahir al-Baghdadi, et Ibn Yahya al-Maghribi al-Samaw'al.

    L’activité mathématique en Irak s'interrompit après le sac de Bagdad en 1258.


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    intitulé « Babylonian_mathematics » (voir la liste des auteurs)

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  3. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
    _____________________________________________________________________
    Mathématiques
    dans l'Égypte antique


    Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, XXe siècle av. J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences Égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de p. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.

    Les mathématiques en Égypte antique étaient fondées sur un système décimal. Chaque puissance de dix était représentée par un hiéroglyphe particulier. Le zéro était inconnu. Toutes les opérations étaient ramenées à des additions. Pour exprimer des valeurs inférieures à leur étalon, les Égyptiens utilisaient un système simple de fractions unitaires.

    Pour déterminer la longueur d'un champ, sa surface ou encore mesurer un butin, les Égyptiens utilisaient trois systèmes de mesure différents, mais tous obéissaient aux règles décrites ci-dessus.

    Les rares documents mathématiques découverts à ce jour ne donnent qu'une vague idée de l'étendue des connaissances des anciens Égyptiens dans ce domaine. Toutefois, il est certain qu'ils parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré. Ils connaissaient les suites numériques et le calcul de volumes et de surfaces avait également atteint un certain degré de complexité.
    Brève histoire des mathématiques dans l'Égypte antique

    Si l'on a souvent sous-estimé les connaissances scientifiques des anciens Égyptiens, c'est sans doute à cause du peu de documents dont nous disposons. Les plus anciens sont les inscriptions contenues sur les murs de quelques temples ou tombes, comme celles de la tombe de Metjen (IVe dynastie) qui montrent que les Égyptiens savaient à cette époque calculer correctement la surface d'un rectangle.

    Les ostraca apportent également quelques témoignages de l'art des mathématiques égyptiennes. Le plus remarquable est sans doute celui retrouvé à Saqqarah sur lequel figure une courbe avec abscisse et ordonnée. Daté de 2 750 ans avant notre ère, il montre que dès cette première génération de bâtisseurs, les Égyptiens avaient suffisamment de connaissances mathématiques pour élaborer ce type de problème.

    Enfin viennent les papyri. Plus fragiles, ils ont moins résisté au temps et ceux qui sont parvenus jusqu'à nous sont, de fait, postérieurs aux pyramides. Seule, une poignée d'entre eux traite de mathématiques. Citons par exemple le papyrus de Berlin ou celui de Moscou, découvert en 1893 par l'égyptologue russe Vladimir Golenischev et conservé au musée des beaux-arts de Moscou. Daté de la fin du Moyen Empire et rédigé en écriture hiéroglyphique, il contient vingt-cinq problèmes mathématiques. Mais le papyrus mathématique le mieux conservé, le plus complet et le plus prestigieux est sans nul doute le papyrus Rhind, du nom de son premier propriétaire l'Écossais Alexander Henry Rhind, qui l'acheta peu après sa découverte à Thèbes en 1857. Rédigé en écriture hiératique et daté du début du XVIe siècle avant notre ère, c'est une copie d'un document plus ancien. Il présente une suite de quatre-vingt-sept problèmes mathématiques, accompagnés de leurs solutions.

    Numération égyptienne

    Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal, mais dans lequel le zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un signe répété le nombre de fois nécessaire. C'était donc un système additionnel.

    Les unités de mesure.
    Plusieurs systèmes coexistaient selon le type de mesure désirée.
    Pour mesurer des longueurs, il existait deux systèmes. Le premier était basé sur la grande coudée ou coudée royale (meh ni-sout). Cette coudée représentait la distance entre le bout du majeur et la pointe du coude et mesurait à peu près mètre. Cette unité était très utilisée pour mesurer les largeurs, longueurs de pièces d'une construction ou des salles d'un temple, mais aussi la hauteur d'une crue. Cent coudées constituent un khet.

    Le deuxième système, le système oncial, était lui basé sur la coudée sacrée (meh djeser). Elle mesurait à peu près 0,7 mètre. Elle était principalement utilisée dans la décoration des tombes, temples et palais.

    Pour les surfaces, l'unité de mesure était l'aroure. Elle représentait un carré de un khet (cent coudées) de côté. On nommait coudée de terre (meh) une bande d'une coudée sur cent. L'aroure était utilisée pour mesurer des terres, et construire un cadastre précis après chaque crue.

    Pour mesurer des volumes, l'unité de mesure était l'hekat. Les mesures s'effectuaient grâce à un sac de cuir de vingt hekat. Les Égyptiens avaient réussi à établir une correspondance de ce système avec celui des longueurs : il y avait équivalence entre le cube de la coudée royale et trente hekat. L'hekat était utilisé pour mesurer les récoltes de grain.

    Pour mesurer un poids, l'unité de mesure était le deben. À l'Ancien Empire, son poids variait selon le type du produit pesé (or, cuivre…), mais au Nouvel Empire, ce système se simplifia et ne garda qu'un étalon unique (d'environ 91 grammes). De petits cylindres en pierre servaient à la mesure et matérialisaient cet étalon. Cette unité servait à mesurer l'importance d'un butin ou d'un poids de métaux précieux utilisés pour une décoration.


    Fraction égyptienne
    Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.

    Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.

    En effet, il est trivial d'exprimer toutes fractions par une somme de fractions unitaires en se permettant de répéter les termes comme dans l'exemple :

    [​IMG]
    Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, à l'instar des Égyptiens durant l'Antiquité, cette représentation est toujours possible grâce à l'identité :
    [​IMG]
    que connaissait dès 1202 le grand mathématicien européen du Moyen Âge Leonardo Fibonacci.

    Ainsi, en reprenant l'exemple ci-dessus : 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30. En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires, 2/5 peut donc s'exprimer comme une multitude de fractions égyptiennes.

    On peut démontrer le même résultat en utilisant les séries harmoniques.

    Il peut être montré que chaque nombre rationnel positif, a/b, peut être écrit sous la forme d'une fraction égyptienne. Ce type de sommes, utilisé pour exprimer les fractions par les anciens Égyptiens, a continué à faire l'objet d'études lors de la période médiévale. En notation mathématique moderne, les fractions égyptiennes ont été remplacées par les fractions vulgaires et la notation décimale. Néanmoins, les fractions égyptiennes continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.
    Les fractions dans l'Égypte antique

    Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.

    N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

    Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie était utilisé pour représenter le numérateur 1 :
    [​IMG]

    Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :
    [​IMG]
    [​IMG] [​IMG] [​IMG] [​IMG]

    Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaires 2/3 et 3/4 :
    [​IMG]

    Si le dénominateur devenait trop large, la "bouche" était placée juste au début du dénominateur :
    [​IMG]
    Bien que d'usage peu commode, la représentation d'un nombre rationnel en fractions égyptiennes comme se l'imposaient les Égyptiens permet de déterminer immédiatement qu'une fraction est plus grande que l'autre.

    Exemple :
    • 55/84 = 1/2 + 1/7 + 1/84
    • 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88

    Donc, le nombre rationnel 55/84 est clairement plus grand que 7/11 alors que ces deux nombres ne diffèrent entre eux que de 2% environ.


    - La «table de deux» du Papyrus Rhind

    Le papyrus Rhind (environ -1650) qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

    Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de deux :
    2/5 ? 1/3 + 1/15
    2/7 ? 1/4 + 1/28
    2/9 ? 1/6 + 1/18
    2/11 ? 1/6 + 1/66
    2/101 ? 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606


    Ces différents résultats furent obtenus par les anciens égyptiens en appliquant la technique de la division :

    Exemple de 2/5 :
    1 5
    2/3 3 + 1/3
    ? 1/3 1 + 2/3
    ? 1/15 1/3
    ________________________________________
    1/3 + 1/15 2
    (1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.



    - Exemple du papyrus Rhind

    Le problème numéro 24 du papyrus est le suivant : Un nombre ajouté à son septième donne 19, quel est ce nombre ?
    Sous forme symbolique moderne, la réponse est triviale: x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.

    Mais il y a 4 000 ans, le calcul fractionnaire et le symbolisme algébrique n'étaient pas vraiment au point. En fait, le problème n'est alors pas dans la résolution même de l'équation, mais dans la mise en équation et la difficulté d'aboutir, à défaut d'une démarche algébrique pratique, à la forme simple ax = b.

    Pour cela les Égyptiens utilisaient la méthode dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une solution approchée (fausse) conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l'écart constaté, à la solution du problème considéré.

    Dans notre exemple l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant 7 comme solution "approchée" (fausse position) : le scribe obtient 8 dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Il utilise ensuite implicitement l'algorithme suivant (où x' = 7 et c = 8) :

    Si ax = b et ax'= c alors ax/ax' = b/c soit x = x'(b/c)

    C'est exactement ce qui est proposé dans le papyrus : on divise 19 par 8, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.


    Mathématiques médiévales
    La notation sous forme de fractions égyptiennes a été utilisée pendant la période grecque et même au Moyen Âge (Struik 1967) en dépit des plaintes dès l'Almageste de Ptolémée à propos de la maladresse de cette notation comparée aux notations alternatives telles que la notation babylonienne en base soixante.

    Le Liber Abaci (1202) de Fibonacci contient plusieurs sections sur les mathématiques liées aux fractions égyptiennes. La plus connue de ces dernières est l'algorithme glouton pour le calcul des fractions égyptiennes, par le choix répété de la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grand que la fraction restante à développer : c’est-à-dire, dans une notation plus moderne, nous remplaçons une fraction x//y par le développement :

    [​IMG]
    Comme chacun de ces développements réduit le numérateur de la fraction restante à développer, cette méthode termine toujours avec un développement fini ; néanmoins, comparée aux développements égyptiens anciens ou aux méthodes plus modernes, cette méthode peut produire des développements qui sont longs, avec de grands dénominateurs. Par exemple, cette méthode développe :

    [​IMG]
    tandis que d'autres méthodes conduisent au meilleur développement :

    [​IMG]
    La suite de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807, … peut être vue comme engendrée par un développement glouton infini de ce type pour le nombre un, où à chaque étape, nous choisissons le dénominateur : [​IMG] à la place de [​IMG]

    Construire une représentation par fraction égyptienne d'un nombre rationnel donné r=a/b, avec r compris entre 0 et 1 :
    1. Trouver la plus grande fraction unitaire juste inférieure à r. Le dénominateur peut être trouvé en divisant b par a, en écartant le reste, et en additionnant un. S'il n'y a pas de reste, nous réussissons quand même, car r est elle-même une fraction unitaire.
    2. Soustraire la fraction unitaire trouvée de r, puis recommencer l'étape précédente en utilisant cette valeur plus petite que r.

    Exemple : convertir 19/20 en une fraction égyptienne.



    • 20/19 = 1 avec un certain reste, donc notre première fraction unitaire est 1/2.
    • 19/20 - 1/2 = 9/20.
    • 20/9 = 2 avec un certain reste, donc notre deuxième fraction unitaire est 1/3.
    • 9/20 - 1/3 = 7/60
    • 60/7 = 8 avec un certain reste, donc notre troisième fraction unitaire est 1/9.
    • 7/60 - 1/9 = 1/180 qui est elle-même une fraction unitaire.
    Donc, notre résultat est :

    [​IMG]
    Notez que cette représentation d'un nombre rationnel donné sous forme de fraction égyptienne n'est pas unique, et que l'algorithme donné plus haut ne produit pas la plus petite de ces représentations :

    [​IMG]
    Quelquefois, l'algorithme glouton de Fibonacci est attribué à Sylvester.

    Dans le Liber Abaci, Fibonacci a écrit aussi à propos de la forme ascendante d'une fraction continue.

    [​IMG]

    qui peut être réécrite comme une sorte de fraction égyptienne, quelquefois appelée un produit égyptien :

    [​IMG]
    Un développement de cette forme dans lequel les entiers a[SUB]i[/SUB] sont croissants est appelé un développement en série de Engel. Chaque nombre rationnel possède un développement de Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement de Engel infini.


    Théorie des nombres moderne

    Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes différents reliés aux fractions égyptiennes, incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements de fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses.

    • La conjecture d'Erdos-Graham en théorie combinatoire des nombres établit que pour toute partition finie de l'ensemble des entiers supérieurs (ou égaux) à 2, l'une des parties peut être utilisée pour former une représentation de 1 en fraction égyptienne.

    C’est-à-dire, pour chaque r > 0, et chaque r-coloration des entiers supérieurs à 2, il existe un sous-ensemble monochromatique fini S de ces entiers tel que :
    [​IMG]
    La conjecture a été démontrée en 2000 par Ernest S. Croot III.

    • Le problème de Znám est intimement relié à l'existence des fractions égyptiennes de la forme :

    [​IMG]
    • Les fractions égyptiennes sont normalement définies comme requérant tous les dénominateurs distincts, mais ceci peut être assoupli pour permettre les dénominateurs répétés. Néanmoins, cette forme assouplie des fractions égyptiennes ne permet pas une représentation d'un nombre quelconque utilisant peu de fractions, comme tout développement avec des fractions répétées peut être converti en une fraction égyptienne de longueur égale ou plus petite par l'application du remplacement :

    [​IMG]
    si k est impair, ou simplement en remplaçant 1/k+1/k par 2/k si k est pair. Ce résultat fut démontré en premier par (Takenouchi 1921).

    • Graham et Jewett (Wagon 1991 et Beeckmans 1993) ont démontré qu'il est possible, de manière similaire, de convertir les développements avec des dénominateurs répétés en fractions égyptiennes (plus longues), via le remplacement :

    [​IMG]

    Cette méthode peut conduire à de longs développements avec de grands dénominateurs, tels que :

    [​IMG]

    (Botts 1967) a utilisé originellement cette technique de remplacement pour montrer qu'un nombre rationnel quelconque possède des représentations en fractions égyptiennes avec des dénominateurs minimums arbitrairement grands.

    • Une fraction x/y quelconque possède une représentation en fraction égyptienne dans laquelle le dénominateur maximum est borné par
    [​IMG]

    (Tenenbaum et Yokota 1990) et une représentation avec au plus
    [​IMG]


    termes (Vose 1985).

    • (Graham 1964) a caractérisé les nombres qui peuvent être représentés par les fractions égyptiennes dans lesquelles tous les dénominateurs sont des puissances n-èmes. En particulier, un nombre rationnel q peut être représenté comme une fraction égyptienne avec des dénominateurs carrés si et seulement si q est situé dans un des deux intervalles demi-ouverts :

    [​IMG]
    • (Martin 1999) a montré qu'un nombre rationnel quelconque possède des développements très denses, en utilisant une fraction constante de dénominateurs allant jusqu'à N pour un N suffisamment grand.


    Conjecture d'Erdos-Straus et de Sierpinski
    En 1948, Paul Erdos et Ernst G. Straus (en) ont conjecturé que pour tout entier n > 1, 4/n peut s'écrire comme somme de trois fractions unitaires,
    [​IMG]
    De même, Waclaw Sierpinski a conjecturé en 1956 que pour tout entier n > 1, il existe trois naturels a, b et c tels que

    [​IMG]
    Remarque : contrairement aux fractions égyptiennes, dans les deux cas les nombres a, b et c ne sont pas nécessairement tous différents.

    Aucune de ces deux conjectures n'est démontrée à ce jour, même s'il existe beaucoup de résultats assez forts concernant notamment la conjecture d'Erdos-Straus.

    L’Œild'Horus ou Œil Oudjat
    Les scribes se servaient des premières fractions dyadiques, à savoir 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 et 1/64 pour faire des calculs. Celles-ci étaient représentées par l'Œil d'Horus, une représentation de l'œil gauche d'Horus perdu puis retrouvé.

    Seth le lui ôta par jalousie et le découpa en plusieurs morceaux, Thot en retrouva six morceaux (représentant les six fractions donc) mais il manquait 1/64 pour faire l'unité. Thot y ajouta alors «le liant magique» permettant à l'œil de recouvrer son unité. Les scribes opéraient donc leurs calculs en approximant 63/64 à 1.

    La composition de deux fractions susnommées leur permettait d'en créer de nouvelles (par exemple 1/2 et 1/4 pour avoir 3/4).

    Les parties du dessin, stylisées, sont utilisées comme hiéroglyphes pour noter, dans les textes sur les volumes de grains, les fractions correspondantes. Dans les papyrus mathématiques, les fractions sont notées en écrivant les nombres explicitement, mais, dans les sections R37 et R38 du papyrus Rhind, qui comportent chacune des vérifications différentes, les deux dernières de R37 et la dernière de R38 sont proposées sous forme de volumes de grains en hekat et écrites dans la notation de l'œil Oudjat, de même que le calcul de R64.


    Voir : Œil Oudjat
     
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    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    Suite Mathématiques dans l’Égypte antique
    ______________
    Connaissances arithmétiques

    Les Égyptiens connaissaient les quatre opérations, pratiquaient le calcul fractionnaire, étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position et de résoudre certaines équations du second degré. Le papyrus Rhind explique comment calculer l'aire d'un cercle en utilisant une approximation fractionnaire de pi : 4x(8/9)x(8/9)=3,16. Le papyrus de Moscou, quant à lui, explique entre autres comment calculer le volume d'une pyramide tronquée et la surface d'une demi-sphère, montrant que les anciens Égyptiens avaient de bonnes connaissances en géométrie.


    - Addition et soustraction

    Bien qu'aucune explication ne soit fournie par les papyrus mathématiques, le système additionnel de la numération égyptienne rend toutes naturelles les opérations d'addition et de soustraction.

    L'addition de deux nombres consistait à compter le nombre de symboles total correspondant à une même grandeur. Si le nombre de cette grandeur dépassait dix, le scribe remplaçait ces dix symboles par le symbole de la grandeur supérieure.
    [​IMG]


    - Multiplication

    Technique de la multiplication dans l'Égypte antique
    La technique de multiplication en Égypte antique reposait sur la décomposition d'un des nombres (généralement le plus petit) en une somme et la création d'une table de puissance pour l'autre nombre. Très souvent, cette décomposition s'effectuait suivant les puissances de deux. Mais celle-ci pouvait varier en fonction de la complexité de l'opération. Le plus petit nombre pouvait ainsi être décomposé alternativement suivant les puissances de deux, les dizaines et les fractions fondamentales telles que 2/3, 1/3, 1/10 etc.

    Cette technique est notamment connue grâce au papyrus Rhind, papyrus hiératique écrit au XVIIe siècle (env. -1650) où le sage Ahmès expose les connaissances mathématiques de son temps.

    La décomposition suivant les puissances de deux
    La décomposition par somme de puissances de deux n'est en fait qu'un changement de base 10 en base 2, mais les Égyptiens de l'antiquité ignorant tout de ces concepts devaient recourir à des techniques plus simples.

    Les puissances de deux sont la suite de nombres commençant par 1 et dont les nombres s'obtiennent en multipliant le précédent par deux (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). Les Égyptiens de l'Antiquité devaient disposer de tables contenant un grand nombre de puissances de 2 pour ne pas être obligés de les recalculer à chaque fois. La décomposition d'un nombre consiste donc à retrouver les puissances de deux qui le composent. Les Égyptiens savaient de façon empirique qu'une puissance de 2 données n'apparaît qu'une seule fois dans un nombre. Pour la décomposition, ils procédaient méthodiquement ; ils trouvaient d'abord la plus grande puissance de deux inférieure ou égale au nombre en question, la soustrayaient et recommençaient l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste plus rien (les Égyptiens ne faisaient pas intervenir le zéro dans les mathématiques).

    Exemple de la décomposition du nombre 25 :
    • la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 25 est 16,
    • 25 – 16 = 9,
    • la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 9 est 8,
    • 9 – 8 = 1,
    • la plus grande puissance de deux inférieure ou égale à 1 est 1,
    • 1 – 1 = rien,
    25 est donc la somme des puissances de deux : 16, 8 et 1.

    La table

    Ensuite, il suffisait de construire la table des puissances de deux du deuxième opérateur de la multiplication (généralement le plus petit) de 1 à la plus grande puissance de deux trouvée lors de la décomposition. Dans ce tableau, la ligne s'obtient en multipliant la précédente par 2.

    Par exemple, si la plus grande puissance de deux trouvée lors de la décomposition est 16 et que le deuxième nombre de la multiplication est 7, il faut créer le tableau suivant :
    • 1 : 7
    • 2 : 14
    • 4 : 28
    • 8 : 56
    • 16 : 112

    Le résultat

    Le résultat s'obtient en additionnant tous les nombres de la deuxième colonne dont la puissance de deux correspondantes fait partie de la décomposition du premier nombre.

    Le gros avantage de cette technique est qu'elle ne fait intervenir que des additions, des soustractions et des multiplications par deux.

    Exemple

    Voici, en chiffres actuels, comment ils multipliaient 238 par 13. Ils multipliaient par deux d'une ligne à l'autre et cochaient en regard.

    ✔ 1 238
    2 476
    ✔ 4 952
    ✔ 8 1904
    13  3094

    13 = 8 + 4 + 1 donc d'après la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

    Méthode générale de décomposition
    Des opérations plus complexes faisant intervenir par exemple des fractions, exigeaient une décomposition avec, outre les puissances de deux, les fractions fondamentales ainsi que les dizaines. La technique est d'ailleurs rigoureusement la même que celle décrite ci-dessus mais offre plus de liberté au scribe quant à la décomposition du petit nombre.

    L'exemple déjà traité ci-dessus de la multiplication de 238 par 13 pouvait ainsi être traitée de cette manière :

    ✔ 1 238
    ✔ 2 476
    ✔ 10 2380
    13  3094

    L'exemple suivant est tiré du Papyrus Rhind: multiplication de 1/14 par 1 1/2 1/4 (figurant 7/4)



    ✔ 1 1/14
    ✔ 1/2 1/28
    ✔ 1/4 1/56
    1 1/2 1/4  1/8 (car 1/8 = 1/14+1/28+1/56)
    Le résultat de 1/14 * (1 1/2 1/4) est donc 1/8



    - Division

    Technique de la division dans l'Égypte antique
    La technique de division en Égypte antique reposait sur le même principe que la multiplication, en ce sens où des tables constituées de puissances de deux successives, de fractions fondamentales et de dizaines étaient utilisées pour résoudre le problème.

    Méthode
    La division chez les anciens Égyptiens était traitée comme l'inverse d'une multiplication.

    Soit l'opération de division a÷ b. L'égyptien se demandait par quoi multiplier le diviseur b pour trouver le dividende a.

    . Division dont le résultat est un nombre entier
    Prenons comme exemple l'opération à effectuer 264÷ 3. Par quoi doit-on multiplier 3 pour trouver 264 ? Pour cela l'une des méthodes à employer est d'établir, comme pour la multiplication, la table des puissances de deux. La première colonne de cette table consiste donc à regrouper les puissances de deux tandis que la deuxième colonne regroupe les valeurs de 3, multipliées successivement par 2, 2 2, 2 3, 2 4, etc jusqu'à atteindre la plus grande valeur possible inférieure au dividende qu'est 264.

    Cette première étape se présente comme suit :

    • 1 : 3
    • 2 : 6 (3x2)
    • 4 : 12 (6x2)
    • 8 : 24 (12x2)
    • 16 : 48 (24x2)
    • 32 : 96 (48x2)
    • 64 : 192 (96x2)
    La deuxième étape consiste à recomposer le dividende 264 en additionnant les nombres de la deuxième colonne, soit 192+48+24=264. Le résultat de la division est donc 64+16+8=88. 264÷3=88.

    En résumé, l'égyptien notait :

    1 3
    2 6
    4 12
    ✔ 8 24
    ✔ 16 48
    32 96
    ✔ 64 192
    88  264
    Le résultat est 88.


    . Division dont le résultat est un nombre fractionnaire
    L'exemple traité ci-dessus est simple et conduit à un résultat entier. Or, il se peut que le résultat de l'opération soit un nombre fractionnaire :

    Exemple : 212÷6
    ✔ 1 6
    ✔ 2 12
    4 24
    8 48
    16 96
    ✔ 32 192
    ✔ 1/3 2
    35+1/3  212

    La table des puissances de deux ne permet de recomposer comme valeur la plus proche du dividende que 210. Il reste donc 2, représentant 1/3 de 6. Par conséquent le résultat de la division est 35+1/3.

    Cet autre exemple, autrement plus complexe que ceux présentés jusqu'alors, décrit la division de 1660 par 33 :

    1 33
    1✔ 2 66
    4 132
    8 264
    2✔ 16 528
    3✔ 32 1056
    4✔ 1/4 8 1/4
    5✔ 1/33 1
    6✔ 1/44 1/2 1/4
    50+1/4+1/33+1/44  1660


    Explication
    L'addition des termes associés aux puissances de deux aboutit à 66 + 528 + 1056, soit 1650. À ce stade, il est impossible de continuer l'association aux puissances de deux sans pouvoir dépasser la valeur de 1660. Par conséquent, il convient de chercher des fractions de 33 plus petites que dix, dix étant le reste à combler. Au niveau 4 de notre opération, l'addition de 1/4 * 33 permet d'atteindre la valeur 1658+1/4 (car 33/4 = 32/4 + 1/4 = 8 + 1/4). Il manque encore 1+3/4 (soit 1+1/2+1/4). 1/33 de 33 incrémente notre grand nombre de 1. Nous atteignons 1659+1/4. Il ne manque plus que 3/4 (soit 1/2+1/4). 1/44 de 33 nous apporte les 3/4 manquant. 1660 étant atteint, le résultat de notre division est : 50+1/4+1/33+1/44, notée 50 1/4 1/33 1/44. Cette méthode de calcul dont le résultat est fractionnaire nous donne donc un résultat rigoureusement exact.

    . Division dont l'un au moins des opérateurs est fractionnaire
    Cette technique permettait également d'opérer avec des nombres fractionnaires.

    Exemple : 121 ÷ 5 1/2 (soit 121÷5,5)

    1 5 1/2
    ✔ 2 11
    ✔ 4 22
    8 44
    ✔ 16 88
    22  121
    Soit 121 ÷ 5 1/2 = 22


    - Carré et racine carrée

    Le carré d'une valeur appliqué au calcul d'une surface peut sans aucun problème être assimilé à une simple multiplication. Par contre, les racines carrées, dont il est assuré qu'elles furent connues des anciens Égyptiens, n'ont laissé aucun document nous permettant de comprendre la technique d'extraction opérée par eux.

    L'énoncé du problème mathématique du papyrus 6619 de Berlin contient la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16, soit 1 + 1/4 ; ainsi que la racine carrée de cent, c'est-à-dire dix. À en juger par les exemples connus d'extraction d'une racine carrée, il semble que le scribe ne connaissait que les radicaux simples, résultant en entiers ou en peu de fractions. Toutefois, l'absence d'opérations dans les problèmes traités indique que le scribe devait avoir à sa disposition des tables contenant le résultat des racines carrées usuelles. Le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou contiennent des applications aux racines carrées, mais il est notable que le plus important papyrus mathématique, le papyrus Rhind, n'en contient aucune.
    VOIR :
    papyrus de Moscou
    _________________________________
     
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    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
    _____________________________________________________________________

    Suite et fin - Mathématiques dans l’Égypte antique
    ______________



    Résolutions d'équations



    Le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou contiennent différents problèmes que de nombreux auteurs ont assimilés à des problèmes algébriques de résolutions d'équations à une inconnue (voire deux inconnues), du premier et du second degré. Loin de faire l'unanimité, ce rapprochement met au moins l'accent sur une méthode efficace de résolution présageant l'utilisation de variables et d'inconnues.



    Recherches d'une quantité (les problèmes ‘ḥ‘w)
    Le scribe égyptien ne pose jamais les problèmes sous forme d'équations algébriques (il ne connaît pas d'opérateurs mathématiques tels que +, -, x ou %, ni la notion d'inconnue posée par une lettre telle que x). Cependant, la technique utilisée pour résoudre ces problèmes s'apparentent bien souvent aux méthodes modernes de résolution d'équations. L'inconnue dont la valeur est à déterminer est toujours désignée par la quantité ‘ḥ‘ (‘ḥ‘w au pluriel).


    [​IMG]

    Une seconde technique consistait à résoudre les problèmes par la méthode de la fausse position. C'est-à-dire que l'on attribuait à la quantité inconnue une valeur quelconque. Le résultat donné par cette valeur était évidemment faux, mais pouvait être corrigé par la règle de proportionnalité inhérente aux équations linéaires. C'est bien cette propriété, fondée sur une méthode empirique, qui fut utilisée ici.


    Exemple du problème R26 du papyrus Rhind
    Une quantité (‘ḥ‘) à laquelle on ajoute ses 1/4 devient 15 (soit X + 1/4X = 15).

    Première étape : une valeur aléatoire est donnée à cette quantité, en l'occurrence 4. Le scribe calcule donc 4 + 1/4x4, dont le résultat ne sera évidemment pas 15 :

    [TABLE]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1[/TD]
    [TD]4[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1/4[/TD]
    [TD]1[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD="colspan: 3"] [HR][/HR][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]1 + 1/4 [/TD]
    [TD]5[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    Le résultat est 5.


    Deuxième étape : le résultat n'est pas 15 mais 5. Quel est donc le rapport entre ces deux résultats ?


    [TABLE]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1[/TD]
    [TD]5[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]2[/TD]
    [TD]10[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD="colspan: 3"] [HR][/HR][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]3 [/TD]
    [TD]15[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    Le rapport vaut 3. Par conséquent la relation entre notre valeur aléatoire 4 et la quantité ‘ḥ‘ vérifiant l'égalité posée dans le problème est 4×3 = ‘ḥ‘.

    Troisième étape : calcul de 4×3


    [TABLE]
    [TR]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]1[/TD]
    [TD]3[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]2[/TD]
    [TD]6[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]4[/TD]
    [TD]12[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD="colspan: 3"] [HR][/HR][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]4 [/TD]
    [TD]12[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    Le résultat est 12.


    Quatrième étape : le scribe vérifie l'exactitude de sa solution par la vérification de l'égalité (soit 12 + 1/4×12 = 15)

    [TABLE]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1[/TD]
    [TD]12[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1/4[/TD]
    [TD]3[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD="colspan: 3"] [HR][/HR][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]1 + 1/4 [/TD]
    [TD]15[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]
    La quantité ‘ḥ‘ vaut bien 12 et ses 1/4 ajoutés à elle-même font un total de 15.

    Équations du second degré
    Certains énoncés posent le problème de la recherche d'une ou plusieurs quantités dont la somme des carrés est connue. Le papyrus 6619 de Berlin offre un très bon exemple du type de résolution par fausse position proposé par les anciens Égyptiens, sous la forme d'un système équivalent à deux équations à deux inconnues.

    Énoncé du problème
    «Si on te dit : cent coudées carrées sont divisées en deux surfaces (quantités ‘?‘w dans le texte original), et 1 sur 1/2 1/4 est le rapport des côtés de la première surface (quantité) et de l'autre surface (quantité). Veuilles faire en sorte que je connaisse la quantité de ces surfaces. Le calcul de l'un des carrés est avec 1 et le calcul de l'autre est avec 1/2 1/4 de 1. Prends le 1/2 1/4 du côté de l'une des surfaces pour le côté de l'autre. Le résultat est 1/2 1/4. Multiplie-le par 1/2 1/4. Le résultat est 1/2 1/16 pour l'aire de la plus petite surface. Si la quantité du côté du grand carré est 1, et que celle de l'autre est 1/2 1/4, et que tu fais la somme des deux carrés. Le résultat est 1 1/2 1/16 (le texte original contient ici une erreur puisqu'il est noté 1 1/4 1/16). Tu prends sa racine carrée. Le résultat est 1 1/4. Tu prends alors la racine carrée de 100. Le résultat est 10. Multiplie 1 1/4 pour trouver 10. Le résultat est la quantité 8 (pour le côté du grand carré). Tu feras le 1/2 1/4 de 8. Le résultat est la quantité 6 pour le côté du plus petit carré.»

    Explication
    Le problème est de trouver les aires de deux carrés différents dont la somme est égale à l'aire d'un carré de 100 coudées², le rapport des côtés de ces deux carrés étant de 1 pour (1/2 + 1/4).

    Posons X la longueur du côté du petit carré, et Y la longueur du côté du grand carré. Par conséquent, l'énoncé serait traduit en langage algébrique moderne par X² + Y² = 100 et X/Y = 1/2 + 1/4.

    Le scribe ne différencie pas deux variables. Les côtés des deux carrés étant liés par la relation 1 pour 1/2 + 1/4, il décide d'affecter la valeur 1 au côté du plus grand carré, et 1/2 + 1/4 au côté du plus petit. C'est la méthode de la fausse position déjà étudiée ci-dessus. Il calcule donc les aires des deux carrés : (1/2 + 1/4) ² et 1². Il obtient un total de 1 + 1/2 + 1/16. L'aire totale des deux carrés est donc de 1 + 1/2 + 1/16. Il en déduit le côté du carré équivalent à cette surface en extrayant la racine carrée de 1 + 1/2 + 1/16. Il vient 1 + 1/4. Or le côté du carré de départ est 10 (racine carrée de 100 effectuée par le scribe). Le rapport de 10 sur (1 + 1/4) est de 8. Ce ratio va nous permettre de réajuster les valeurs prises par fausse position : 1 × 8 et (1/2 + 1/4) × 8, soit 8 et 6. Nous avons bien 6² + 8² = 100.

    La surface d'un carré de dix coudées de côté est donc équivalente à la surface totale de deux carrés dont les côtés sont respectivement de six et de huit coudées.



    Suites arithmétiques et géométriques


    Les rares papyrus mathématiques découverts jusqu'à présent ont révélé que les Égyptiens avaient de très bonnes notions sur les suites et qu'ils savaient résoudre des problèmes à l'aide des suites arithmétiques ou
    géométriques.

    . Suites arithmétiques

    Une suite arithmétique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en lui additionnant (ou en lui soustrayant) toujours la même valeur. Cette valeur est appelée en langage mathématique moderne, la raison. Par exemple, la suite {1; 3; 5; 7; 9} est une suite arithmétique de cinq termes dont la raison est 2.

    Énoncé du problème R64 du papyrus Rhind
    «Exemple de répartition de parts. Si on te dit: (on a) 10 héqat de blé pour 10 hommes. Et la différence entre un homme et son voisin se monte à 1/8 de héqat de blé. La répartition moyenne est de 1 héqat. Soustrais 1 de 10, il reste 9. Prendre la moitié de la différence qui est 1/16. Les 9 fois qui valent 1/2 1/16 de héqat sont à additionner à la répartition moyenne et tu dois soustraire 1/8 de héqat par homme, chacun pris jusqu'au dernier. À faire selon ce qui doit se produire.»

    1 1/2 1/16
    1 1/4 1/8 1/16
    1 1/4 1/16
    1 1/8 1/16
    1 1/16
    1/2 1/4 1/8 1/16
    1/2 1/4 1/16
    1/2 1/8 1/16
    1/2 1/16
    1/4 1/8 1/16
    ________________
    10

    Explication

    Le problème consiste à partager 10 héqat de blé entre 10 hommes. On peut désigner leurs parts respectives par H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 et H10. Les 10 héqat de blé représentent le total des parts à distribuer. Nommons le S. Soit N le nombre de parts. Chaque homme ne possédera pas la même quantité d'héqat. Pris dans l'ordre, chacun obtiendra 1/8 d'héqat de plus que son prédécesseur. Soit H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 et ainsi de suite, le dernier individu ayant la plus grande part. 1/8 représente la raison de la suite donc R = 1/8.

    Le scribe détermine en premier lieu la valeur moyenne de héqat que l'on distribuera à chaque homme, soit S/N = 10/10 = 1. Ensuite, il calcule le nombre de différences effectuées sur l'ensemble des 10 individus. Il y en a N-1 = 10-1, soit 9. Il vient R/2 = 1/16, puis R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Le plus grand terme est donné par R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.


    On a donc les dix parts suivantes :
    H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
    H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
    H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
    H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
    H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
    H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
    H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
    H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
    H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
    H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16
    ________________________________________
    Total = 10

    Par une méthode empirique, le scribe a donc retrouvé la propriété des suites arithmétiques et appliqué les formules suivantes :

    [​IMG]
    puis [​IMG]


    . Suites géométriques

    Une suite géométrique est une suite de nombres dont chacun des termes s'obtient à partir du précédent en le multipliant toujours par la même valeur. Par exemple, la suite {1; 3; 9; 27; 81} est une suite géométrique de cinq termes dont la raison est 3.

    Ce type de suite fut usité, mais les documents manquent et il est impossible de se faire une idée précise quant aux connaissances que pouvaient en avoir le scribe. Les méthodes de multiplication et de division employées par les Égyptiens sont fondées sur les puissances de deux, autrement dit une suite géométrique de raison 2, et sur les fractions 1/2, 1/4, 1/8 ... c'est-à-dire une suite géométrique de raison 1/2. Par ailleurs, le papyrus Rhind nous fournit l'unique exemple de problème basé sur l'application des suites géométriques.


    Énoncé du problème 79 du papyrus Rhind
    Somme d'une suite géométrique de cinq termes, tels que le premier terme vaut 7 et le multiplicateur de chaque terme (la raison) vaut 7.
    Application à l'inventaire d'une maison :


    [TABLE]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]1[/TD]
    [TD]2 801[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]2[/TD]
    [TD]5 602[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD]✔[/TD]
    [TD]4[/TD]
    [TD]11 204[/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD="colspan: 3"] [HR][/HR][/TD]
    [/TR]
    [TR]
    [TD][/TD]
    [TD]7 [/TD]
    [TD]19 607[/TD]
    [/TR]
    [/TABLE]

    Maisons 7
    Chats 49
    Souris 343
    Malt 2 401 (le scribe a noté 2 301 par erreur)
    Héqat 16 807
    ________________________________________
    19 607


    _____________________________________________________________
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    FIN POUR/
    Mathématiques dans l'Égypte antique



    A SUIVRE/

    Chine





     
  7. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    Chine

    La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, daté du Ier siècle, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le Ier et le VIIe siècle après J.-C. puis entre le Xe et le XIIIe siècle.

    Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique


    [​IMG]

    Description
    : English : Source: http://www.chinapage.com/jiuzhang.gif
    Date : 2006-04-09 (original upload date)
    Source : Transfered from en.wikipedia Transfer was stated to be made
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    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons
    ______________________


    Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (九章算術 ou 九章算术 ou Jiǔzhāng Suànshù) est un livre anonyme chinois de mathématiques, dont les origines remontent à la dynastie Zhou, et qui fut compilé entre le IIe siècle av. J.-C. et le Ier siècle av. J.-C. au début de la période Han. Plus ancien texte chinois après le Suan shu shu (en), il est parvenu jusqu'à nous par le travail de copie des scribes et (des siècles plus tard) par impression. Il propose une approche des mathématiques qui se focalise sur la recherche de méthodes générales de résolution de problèmes.

    Chaque chapitre comporte un ensemble de problèmes, suivis de leur solution et d'une explication de la procédure qui a mené à la solution.


    Contenu des Neuf Chapitres
    1 Fang tian - Champs rectangulaires : aires de champs de diverses formes (rectangles, trapèzes, triangles, sections circulaires, ...); manipulation de fractions.
    2. Su mi - Millet et riz : échange de biens à différents tarifs; estimation; indéterminées.
    3. Cui fen - Répartition proportionnelle : répartition de biens et d'argent selon le principe de proportionnalité.
    4. Shao guang - La moindre largeur : division par divers nombres; extraction de racines carrées et de racines cubiques; dimensions, aire du cercle et volume de la sphère.
    5. Shang gong - Réflexions sur les travaux : volumes de solides de diverses formes.
    6. Jun shu - Taxation équitable : problèmes plus complexes sur les proportions.
    7. Ying bu zu - Excédent et déficit : problèmes linéaires résolus en utilisant le principe connu plus tard en Occident sous le nom de Méthode de la fausse position.
    8. Fang cheng - La disposition rectangulaire : problèmes à plusieurs inconnues, résolus selon un principe similaire à l'élimination de Gauss.
    9. Gou gu - Base et altitude : problèmes faisant intervenir le résultat connu en Occident sous le nom de Théorème de Pythagore.


    Analyse
    La première apparition du titre Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique a été retrouvée sur des marques de bronze datant de l'an 179.

    Les résultats présentés dans les Neuf Chapitres sont vraisemblablement antérieurs à leur écriture. Liu Hui a écrit un commentaire très détaillé de ce livre en 263. Il précisa notamment que des traités antérieurs furent écrits sous l'empereur Qin Shi Huang et influencèrent le contenu des Neuf Chapitres. Ses commentaires donnent une analyse mathématique des Neuf Chapitres visant à convaincre le lecteur de leur validité.


    En 1983, des archéologues ouvrirent une tombe à Zhangjiashan dans la province de Hubei. Des preuves documentaires attestent que cette tombe a été close en 186 avant Jésus Christ, au début de la dynastie Han. Y fut découvert un ancien texte chinois sur les mathématiques, le Suan shu shu long de près de 7000 idéogrammes, écrit sur 190 bandes de bambou. Les relations entre les deux œuvres sont sujettes à discussion. Le texte du Suan shu shu est toutefois bien moins systématique dans sa structure que les Neuf Chapitres et semble être composé d'un certain nombre de textes courts, plus ou moins indépendants, tirés de plusieurs sources.

    Enjeux et interprétations

    L'étude des Neuf Chapitres et des commentaires de Liu Hui permettent non seulement d'éclairer les questions d'antériorité des mathématiques chinoises relativement aux mathématiques occidentales, mais nous renseignent également sur la nature même de la science chinoise.

    Pendant longtemps, la science chinoise fut en effet réputée n'être qu'un ensemble de «recettes» n'engageant aucune réflexion générale et abstraite sur le monde. Les travaux récents de Karine Chemla (de) sur les Neuf Chapitres ouvrent de nouvelles perspectives sur la compréhension de la science chinoise. La lecture proposée par Karine Chemla suggère en effet que l'abstraction n'est pas absente de la science chinoise, mais qu'elle se présente sous une forme radicalement différente de celle qui a pu être développée en Occident.

    La seconde question, celle de l'antériorité, est également éclairée par l'analyse des Neuf Chapitres. Selon certains spécialistes, les connaissances mathématiques des civilisations chinoises et grecques se seraient développées indépendamment. En particulier, la méthode du chapitre 7 était inconnue en Europe avant le XIIIe siècle et la méthode du chapitre 8 n'y a pas été redécouverte avant le XVIe siècle. Selon d'autres spécialistes, les ressemblances de certaines méthodes entre les textes grecs et les Neuf Chapitre suggèrent que celles-ci sont antérieures aux deux civilisations. En particulier, Van der Waerden souligne la même erreur dans le calcul dans l'aire d'une portion de disque dans le Fang Tian et chez Héron d'Alexandrie.


    Méthode de la fausse position

    La méthode de la fausse position ou méthode regula falsi, en analyse numérique, est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction qui combine les possibilités de la méthode de dichotomie et de la méthode de la sécante.

    La méthode
    Comme la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position commence par deux points a[SUB]1[/SUB] et b[SUB]1[/SUB] tels que f(a[SUB]1[/SUB]) et f(b[SUB]1[/SUB]) soient de signes opposés, ce qui implique d’après le théorème des valeurs intermédiaires que la fonction continue f possède au moins un zéro dans l’intervalle [a[SUB]1[/SUB], b[SUB]1[/SUB]]. La méthode consiste à produire une suite décroissante d’intervalles [a[SUB]k[/SUB], b[SUB]k[/SUB]] qui contiennent tous un zéro de f.

    À l’étape k, le nombre
    [​IMG]

    est calculé. Comme expliqué ci-dessous, c[SUB]k [/SUB]est l’abscisse de l’intersection de la droite passant par (a[SUB]k[/SUB], f(a[SUB]k[/SUB])) et (b[SUB]k[/SUB], f(b[SUB]k[/SUB])) avec l'axe des abscisses, que nous appellerons pour simplifier zéro de la sécante. Si f(a[SUB]k[/SUB]) et f(c[SUB]k[/SUB]) sont de mêmes signes, alors nous posons a[SUB]k+1[/SUB] = c[SUB]k[/SUB] et b[SUB]k+1[/SUB] = b[SUB]k[/SUB], sinon nous posons a[SUB]k+1[/SUB] = a[SUB]k[/SUB] et b[SUB]k+1[/SUB] = c[SUB]k[/SUB]. Ce procédé est répété jusqu’à ce que le zéro soit suffisamment approché.

    La formule ci-dessus est également employée dans la méthode de la sécante, mais cette dernière retient systématiquement les deux derniers points calculés, alors que la méthode de la fausse position retient deux points qui encadrent certainement un zéro. D'autre part, la seule différence entre la méthode de la fausse position et la méthode de dichotomie est l’utilisation la relation c[SUB]k[/SUB] = (a[SUB]k[/SUB] + b[SUB]k[/SUB]) / 2
    .

    Recherche du zéro de la sécante
    Étant donnés a et b, nous construisons la droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)), comme dans la figure ci-contre. Remarquons que cette droite est une sécante ou une corde du graphe de la fonction f. En utilisant la pente et un point, l’équation de la droite peut s’écrire

    [​IMG]

    Nous déterminons maintenant c, l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses (zéro de la sécante) donnée par

    [​IMG]

    La résolution de l’équation précédente donne c[SUB]k[/SUB].


    Analyse
    Si les valeurs initiales a[SUB]0[/SUB] et b[SUB]0[/SUB] sont prises telles que f(a[SUB]0[/SUB]) et f(b[SUB]0[/SUB]) soient de signes opposés, alors la méthode de fausse position convergera vers un zéro de f. La vitesse de convergence sera typiquement superlinéaire, ainsi plus rapide que la méthode de dichotomie, mais plus lente que la méthode de la sécante.

    Histoire
    Les documents les plus anciens ayant résisté au temps et témoignant de la connaissance et de la compréhension de la méthode de la fausse position remontent à une date estimée entre 200 av. J.-C. et 100. La méthode a été trouvée dans un texte chinois antique intitulé les neuf chapitres sur l'art mathématique (九章算術). Dans ce texte, cependant, les exemples de problèmes posés appliquent la méthode de la fausse position aux équations linéaires uniquement, et les solutions sont atteintes en seulement une étape.

    En Occident, cette méthode a été beaucoup utilisée par les mathématiciens Fibonacci, Luca Pacioli, Robert Recorde, et Galois.



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  8. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Civilisations précolombiennes


    La civilisation Maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du IIIe siècle au IXe siècle. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour du XIIIe siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, de Paris, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux.

    La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture, ils utilisaient des quipus pour «écrire» les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

    Exemple de quipus



    [​IMG]
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    Numération Maya

    La numération Maya est une numération de position de base 20 (à une irrégularité près dans la notation des grandes durées).

    Les chiffres de 1 à 19 s'écrivent suivant un système répétitivo-additif à l'aide de traits valant 5 et de points valant 1. Les Mayas ont inventé un chiffre zéro attesté pour la première fois par les stèles 18 et 19 de Uaxactun (Peten, Guatemala) datées du 3 février 357 où ses trois occurrences en position finale ont la forme d'une fleur. Une autre forme de ce zéro de position est celle de la main de l'accomplissement, ou celle du miroir d'obsidienne. Dans les codex du Postclassique, le zéro de position a la forme d'un couteau (notamment de couteau sacrificiel) et parfois la forme d'un coquillage.

    Les Mayas distinguaient les aspects cardinal et ordinal du nombre, et ne confondaient pas, par exemple, une date avec une durée. Ils inventèrent un signe pour noter l'aspect ordinal du zéro, le signe CHUM dérivant du verbe « s'asseoir, siéger » qui renvoie dans ce contexte au point de départ d'un cycle. Le zéro ordinal est plus anciennement attesté que le zéro cardinal puisqu'il apparaît pour la première fois sur la Plaque de Leyde datée du 15 septembre 320.


    Traces dans l'histoire

    Les Mayas ont laissé des tables de multiples, des tableaux de dates, des dates en quatre calendriers (tzolkin de 260 jours, haab de 365 jours, CR de 18 980 jours et CL de 1 872 000 jours), et des milliers d’équations temporelles reliant les dates et les durées qui décrivent l’histoire des cités et des rois ou la marche du Soleil et des planètes visibles à l’œil nu. Dans les cités mayas, les gens utilisaient la numération parlée de leur langue (chol, yucatèque, etc.) et les scribes disposaient de plusieurs numérations écrites ainsi que d'un système d'unités de temps. Ces systèmes étaient tous de caractère vigésimal.

    Pour écrire les petits nombres, par exemple la durée d'une lunaison (c'est-à-dire les entiers 29 et 30) ou les petits déplacements (dans l'almanach divinatoire de 260 jours), les Mayas disposaient d'une numération de type additif utilisant trois signes pour 1, 5 et 20; dans cette écriture : '20,9' s'interprète 20 + 9. Parfois aussi, ils transcrivaient les sons de l'expression parlée du petit nombre; les exemples sont rares (trois dans le codex de Dresde) mais ils sont précieux parce qu'on a alors une trace écrite de l'opération de protraction qui fournit par exemple la valeur 35 (ho.lahun [tu-] ca kal, en yucatèque de l'époque coloniale) à partir des arguments 15 'holhu' et 40 'cakal'.

    La notation protractive est aussi attestée sur les monuments pour noter l'âge de la Lune. C'est le compte des jours depuis la nouvelle Lune qui s'exprime par un signe composé lorsqu'il est compris entre 21 et 30. Dans ce cas, le scribe n'écrivait pas le signe tu de l'opération de protraction et juxtaposait les deux arguments. L'âge 29 par exemple s'écrivait '9,20', dans l'ordre croissant. Cet ordre distingue et oppose la protraction de l'addition précédente, par exemple l'âge 29 et la lunaison 29. La lunaison de vingt-neuf jours était notée '20,9' dans l'ordre décroissant des arguments.

    Les Mayas écrivaient aussi de grandes durées (couramment de l'ordre du million de jours) soit en numération de position avec zéro comme dans les codex parvenus jusqu'à nous, soit en numération de disposition avec zéro ; dans ce dernier cas (typique des inscriptions monumentales), les mayas écrivaient systématiquement toutes les unités comme par exemple dans le Compte long 13-baktun 0-katun 0-tun 0-uinal 0-kin gravé sur une stèle de Quirigua. Il faut ici rappeler que le système des unités de temps est purement vigésimal si le tun (année de compte valant 360 jours) est considéré comme l'unité principale du système (dans ce cas, il y a un sous-système vigésimal de deux sous-unités de temps : les unités uinal 'mois' et kin 'jour' le sous-système est relié au système par l'équation ou l'irrégularité : 1 tun = 18 uinal).

    Les signes d'entiers ou d'unités de temps existent dans trois styles calligraphiques différents: le style point/barre (le plus fréquent dans les codex), le style céphalomorphe et le style en figures entières.


    Liste des chiffres
    [​IMG]

    - Exemples
    Chaque étage est multiplié par une puissance de 20, ainsi la valeur de l'étage le plus bas est multipliée par 20^0 (x1), du second étage par 20^1 (x20), du troisième étage par 20^2 (x400) et ainsi de suite...
    Ce qui donne :

    [​IMG]

    Le système maya comporte une irrégularité dans le cas des dates : le troisième étage ne comptera pas une 400-aine mais une 360-aine (20×18). Ceci reporte l'étage suivant non pas à la 8000-aine mais à la 7200-aine (20×18×20) et le cinquième à la 144000-aine (20×18×20×20).

    - Addition et soustraction
    Ajouter ou soustraire des nombres dont le résultat est plus petit que 20 avec la numération Maya est très simple.
    L'addition est réalisée par la combinaison des symboles à chaque niveau.

    Si le résultat donne cinq ou plus de points, cinq points sont retirés et remplacés par un trait. Si le résultat donne quatre traits ou plus, quatre traits sont retirés et un point est ajouté au niveau supérieur :




    [​IMG]+[​IMG]=[​IMG] (4+12=16)

    La méthode est similaire pour la soustraction: retirer les éléments du second au premier symbole.
    S'il n'y a pas assez de points dans le premier symbole, un trait est remplacé par cinq points. Et si, à un étage donné, il n'y a pas assez de traits, un point est retiré de l'étage supérieur qui est remplacé par quatre traits au niveau de l'étage de travail :


    [​IMG]
    [​IMG]-[​IMG]=[​IMG] (27-10=17)


    - Forme du zéro cardinal maya

    La forme du zéro des codex n'est pas un coquillage. Ce signe allongé représente un couteau (notamment un couteau de sacrifice) et dérive vraisemblablement du signe du miroir d'obsidienne poli. La forme coquillage est rare, mais attestée.

    Sur les monuments, le zéro cardinal n'a jamais cette forme, mais celle d'une demi-fleur à quatre pétales, ou celle d'une tête caractérisée par la main de l'accomplissement, ou encore d'une floraison de maïs ou du miroir d'obsidienne.


    - Variantes graphiques

    Les scribes mayas disposaient, outre du système des chiffres point/barre ci-dessus, de nombreuses formes graphiques pour représenter les vingt chiffres nécessaires à l'écriture de leurs nombres (le plus souvent des durées) ou des unités de leur système d'unités de temps (les glyphes de période: kin, uinal, tun, katun, baktun, etc.). Le plus célèbre système est certainement celui des chiffres céphalomorphes (chaque chiffre, de 0 à 19, est représenté par un glyphe ayant la forme d'une tête).


    Deux zéros mayas

    Les scribes mayas utilisaient une numération vigésimale (à base vingt) et ils disposèrent de deux zéros distincts, marqués par des glyphes différents. De manière générale, ils distinguaient toujours soigneusement les durées (de nature 'cardinale') et les dates (de nature 'ordinale'), par exemple dans les almanachs divinatoires, en écrivant les premières en noir et les secondes en rouge. De même, ils distinguaient soigneusement les constituants de chiffre (par exemple : deux points '..' juxtaposés horizontalement pour former le chiffre ou le nombre 2) et les constituants de nombre (c'est-à-dire les chiffres constituant un nombre en écriture positionnelle, par exemple deux points ':' juxtaposés verticalement pour former le nombre 21, soit 'une-vingtaine un').

    Le premier, que l'on peut appeler zéro cardinal, est un zéro de position, comme celui de la numération décimale ou de toute autre numération de position. Par exemple : 9.9.16.0.0. (codex de Dresde p. 24) note la durée 9-baktun 9-katun 16-tun 0-uinal 0-kin, c'est-à-dire la durée de 9 x 400 tun (année de compte de 360 jours) + 9 x 20 tun + 16 tun + 0 uinal (mois de 20 jours) + 0 kin (jour).

    Le second ou zéro ordinal servait à noter le premier jour des 18 mois de vingt jours ou de la période complémentaire de cinq jours qui constituent l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Par exemple, le premier de l'an était un 0 Pop.

    Le zéro ordinal est attesté pour la première fois par une pendeloque de jade (connue sous le nom de plaque de Leyde)*, et il date du 17/09/320 (après J.-C.). Sur cette pendeloque, le même glyphe apparaît aussi dans un contexte «littéraire» où il note le verbe désignant l'action de monter sur le trône, l'intronisation du roi dont la figure apparaît au recto de la plaque.

    Le zéro cardinal apparaît pour la première fois sur les stèles 18 et 19 de Uaxactun, qui comptent trois occurrences de ce signe en position finale. On les trouve dans l'expression (redondante, puisque, dans ce double exemple, toutes les unités sont exprimées) d'une date en compte long (c'est-à-dire représentée par la durée exprimée en nombre de jours écoulés depuis l'origine de la chronologie maya, soit en 3113 avant J.-C.) : 8-baktun 16-katun 0-tun 0-uinal 0-kin. Le zéro cardinal maya est donc attesté depuis le 2 février 357.


    Numération parlée (yucatèque, données de Beltran, XVIIIe siècle)
    [​IMG]

    Début de la liste des noms de nombres yucatèque extrait de : Beltrán de Santa Rosa Maria, Pedro (1742) : Arte del idioma maya reducido a sucintas reglas y semilexicon yucateco.

    Suggestion. Le constituant tu (tuy devant voyelle) est la contraction du locatif ti 'vers, en' et de l'indice personnel de 3e personne u- 'son', lequel sert à dériver l'ordinal à partir du cardinal (comme notre suffixe -ième qui fait passer de 3 à 3[SUP]e[/SUP]). Le locatif peut être sous-entendu, reste alors l'indice personnel (par ex. dans 50). L'amalgame entier, ti+u, peut aussi être sous-entendu. Par exemple, l'expression 35 donnée par Beltran est une forme abrégée de holhu tu-ca-KAL où l'on reconnaît le numéral holhu '15' (en fait le composé intégré (5,10)), l'expression sous-entendue tu- préfixée au numéral ca '2' (soit vers le 2[SUP]e[/SUP]) et le classificateur mesure KAL 'vingt, vingtaine'. La forme holhucakal s'analyse en ho.lahun ti+u-ca-KAL et se traduit élément à élément : '15 vers 2[SUP]e[/SUP] VINGT'.

    Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante). Le linguiste Claude Hagège a proposé d'appeler cette opération «opération de protraction».


    André Cauty (1987) a montré que la numération parlée yucatèque est d'un type spécial que l'on peut dire le type ordinal en vision d'antériorité rétrograde. En effet, si l'expression de 35 dit quelque chose comme '15 vers le 2[SUP]e[/SUP] VINGT' ou '15 vers 40', sa valeur numérique 35 ne peut être obtenue qu'en revenant au premier VINGT. Bien noter que dans les composés de la deuxième vingtaine (de 21 à 39), les yucatèques ne précisent généralement pas le «coefficient» du VINGT dont il est question (et qui ne peut être que le «premier», c'est-à-dire 2) comme dans l'expression hun tu KAL de 21, mais pas dans celle de 30 ou de 35 (où c'est le relateur tu qui est sous-entendu).


    *La Plaque de Leyde ou de Leyden est l'un des plus anciens objets Maya datés en Compte long.
    Elle a été retrouvée par hasard en 1864 lors de travaux dans les environs de Puerto Barrios au Guatemala et est actuellement conservée au Rijksmuseum voor Volkenkunde à Leyde aux Pays-Bas.

    Il s'agit d'un objet en jadéite de forme ovale de 21,7 cm de hauteur. Les perforations au sommet et à la base de la plaque laissent supposer qu'il a été employé comme pendentif. Retrouvé loin de son lieu d'origine probable, à savoir Tikal, et dans un contexte archéologique postclassique alors qu'il date du Classique ancien, c'est un exemple d'objet précieux préservé ou réutilisé plusieurs siècles après sa création, comme on en trouve par ailleurs en Mésoamérique.

    On peut voir gravé sur sa face antérieure un personnage foulant aux pieds un vaincu et tenant dans ses bras une barre cérémonielle, dans une attitude caractéristique des souverains maya classiques, telle qu'on peut en observer sur des stèles. La plaque est également gravée sur sa face postérieure: une inscription, avec des traces de cinabre, rapporte l'accession d'un souverain le 17 septembre 320 (date en Compte long).

    Il y a quelques années, la plupart des auteurs considéraient cet individu, connu sous le sobriquet anglais de «Moon-Zero-Bird» comme un des premiers souverains de la dynastie de Tikal. Dans des ouvrages plus récents, la prudence est de mise: on se borne à signaler que la plaque est souvent associée à Tikal, bien qu'un lien solide fasse défaut et le nom de «Moon-Zero-Bird» n'apparaît plus dans la liste dynastique de Tikal.

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    Inde

    La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.

    Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (Ve siècle après J.-C.) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.


    Mathématiques indiennes

    La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne.
    Parmi les impressionnantes contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres arabo-indiens, et qui se sont imposés dans le monde entier.

    Mais les Indiens ont également maîtrisé le zéro, les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques. Les concepts mathématiques indiens ont diffusé et ont trouvé un écho en Chine et dans les mathématiques arabes, avant de parvenir en Europe.

    Les mathématiciens indiens ont également découvert les fondements de l'analyse : calcul différentiel et intégral, limites et séries, bien avant leur redécouverte en Occident.

    La civilisation de la vallée de l'Indus


    La civilisation de la vallée de l'Indus, remontant aux environs de l'an -3300, apporte les premiers témoignages d'une activité mathématique, sur le sous-continent indien. Les fouilles de Harappa, Mohenjo-daro et de la zone environnante ont permis de découvrir un système de poids et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, une technologie de la brique répondant à des recherches de proportion précises, et une sensibilité aux formes géométriques.


    Les poids sont mesurés dans un système décimal, puisque le poids unité (de 28 grammes environ) se décline selon les facteurs 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, et 500. Les longueurs sont mesurées à l'aide de règles d'une grande précision. Une règle d'ivoire trouvée à Lothal porte ainsi des divisions espacées de 1,7 mm.

    La confection de briques s'appuie sur des proportions fixes 4:2:1, d'une grande efficacité pratique. L'utilisation des règles pour choisir les dimensions des briques est attestée par la correspondance, sur les mêmes lieux, entre les divisions des règles, et les longueurs des briques qui en sont des multiples entiers.

    Les poids de référence sont fréquemment de forme cubique, mais peuvent prendre d'autres formes géométriques : tonneaux, cônes, cylindres. On trouve également des dessins géométriques gravés qui témoignent d'une certaine familiarité avec les cercles.

    À Lothal, un instrument de mesure des angles a également été découvert. Il avait probablement pour utilité de diviser le ciel en 8 ou 12 sections.


    Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400)

    Les mathématiques védiques sont les mathématiques indiennes de la période védique. Les applications dédiées à ces mathématiques étaient purement cosmologiques. Elles sont exprimées par une série de sûtra issus des véda, les textes sacrés de l'Inde, et permettent de faire des calculs à partir d'algorithmes. Comme les indiens sont les inventeurs de la numération de position ou notation positionnelle, leur possibilité de calculer s'est trouvée augmentée.

    Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Védas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie servant d'appendices aux Vedas.


    Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée de deux (jusqu'à la cinquième décimale).

    Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour des nombres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (śūnya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna .

    Comment calculer le carré des nombres se terminant par 5 ?
    Un de ces sūtra sert à trouver le carré des nombres se terminant par le chiffre 5. Considérons un nombre entier quelconque : il contient une partie à gauche notée g et une partie à droite notée d. Le résultat de l'algorithme sera donné par une partie à gauche notée G et une partie à droite notée D.
    d correspond toujours aux unités et g aux dizaines.
    On aura toujours :

    [​IMG]
    et
    [​IMG].

    Exemple 1

    [​IMG]
    [​IMG]
    et
    [​IMG]
    d'où :
    [​IMG]
    et
    [​IMG].

    Le résultat est bien 1225.

    Exemple 2

    [​IMG]


    Démonstration algébrique moderne
    La démonstration algébrique pour une nombre à deux chiffres est évidente: un nombre quelconque se terminant par 5 peut s'écrire sous la forme :

    [​IMG].
    Son carré sera donc :
    [​IMG]
    [​IMG].
    On retrouve bien ici [​IMG] centaines et [​IMG] unités.


    La multiplication védique
    Exemple :
    [​IMG]
    [​IMG]

    Considérons le "bloc" de droite formé par 2 et 5, puis multiplions ces chiffres. On obtient 10 unités. "Agrandissons" ensuite ce bloc à la colonne des dizaines puis effectuons l’opération croisée suivante: 1 x 5 + 2 x 3 = 11. On obtient 11 dizaines. À présent nous arrivons au plus grand bloc. En suivant la logique on obtient 4 x 5 + 1 x 3 + 2 x 1 = 25 centaines. Considérons maintenant le bloc formé seulement par les centaines et dizaines. On obtient ici 4 x 3 + 1 x 1 = 13 milliers. Terminons par l'unique colonne des centaines pour obtenir 4 x 1 = 4 dizaines de milliers.
    En additionnant convenablement tous ces résultats, nous arrivons à: 55620.

    La preuve par 9
    En additionnant les chiffres d'un nombre quelconque et en comptant comme nulle chaque somme égale à neuf, on calcule le bee jank de ce nombre.
    Exemple :
    Le bee jank de 45628 est 7. On a 4 + 5 = 9 (donc 0) puis 6 + 2 + 8 = 16. 16 étant composé de 1 et 6, le bee jank de 45628 est bien 7.
    Si on prend comme exemple la multiplication précédente 412 x 135 = 55620, on peut vérifier le résultat en calculant les bee jank. Le bee jank de 412 est 7 et celui de 135 est 0. Le bee jank du résultat est lui aussi 0 (5 + 5 + 6 + 2 = 18, c'est-à-dire 1 + 8 = 9, donc 0). On remarque que le produit des bee jank est égal au bee jank du produit.
    Les multiplications de nombres proches de puissances de 10
    Soit A une "base" équivalente à une puissance de 10.



    Mathématiques de l'époque jaïniste (-400 à 200)

    Fondée en Inde au VIe siècle av. J.-C., le jaïnisme est une religion et une philosophie. La vision cosmologique a fortement motivé les mathématiques indiennes, et en particulier la conception de l'infini. Le monde était divisé par une limite en deçà de laquelle agissaient les êtres vivants, les dieux et les démons. Le monde supérieur était divisé en deux parties. Ces divisions se retrouvent dans les nombres : dénombrables, indénombrables et infinis.


    Les mathématiques jaïnistes réfèrent à la période s'étendant jusqu'au Ve siècle, période durant laquelle la religion jaïniste était dominante. Peu de résultats scientifiques de cette période ont été conservés, mais ils sont d'une grande originalité. L'étude des mathématiques ne se fait plus dans un but uniquement pratique ou religieux, mais se justifie par elle-même.

    Les jaïnistes introduisent les premiers concepts de cardinalité et de nombres transfinis, persuadés que tous les infinis ne sont pas égaux. En particulier, ils introduisirent un plus grand nombre dénombrable (N) qui aujourd'hui a donné aleph zéro, le plus petit cardinal transfini.

    L'école de Pingala introduit le calcul matriciel et le système binaire, et utilise la suite de Fibonacci et le triangle de Pascal, autant de résultats qui seront redécouverts. Le zéro est noté par un point.


    Bien que les explications données en astronomie fussent de nature religieuse (interventions systématiques de démons), leurs observations étaient précises. Dans Surya Prajnapti (400 avant notre ère), est calculée la période orbitale de la lune de 29,5161290 jours, soit une erreur de 20 minutes.

    Période classique (400 à 1200)

    La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara, elle fut une période d'intense rayonnement en direction de l'Orient et du monde islamique.

    Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie, avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses.


    Avec Brahmagupta (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre et nombre, sont parfaitement comprises et la construction du système de numération décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées.

    La période s'achève avec le mathématicien Bhaskara Acharya (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition. Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème de Rolle. Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala.


    L'école du Kerala (1300 à 1600)

    Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud de l'Inde. Le fondateur en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré.

    On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyeṣṭhadeva (en), des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales.

    L'usage de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.


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    Les Mathématiques en Inde



     
  10. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    Grèce antique


    À la différence des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.

    La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.

    Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate (-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide.

    Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi Thalès voyagea en Égypte, et il a pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle.

    Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré.

    Cet idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de numération grecque assez peu pratique : si le système est décimal, il est additif et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec un penchant pour le pentagone régulier.

    Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.

    Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de la méthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.

    Théétète travaille sur les polyèdres réguliers.


    La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des Éléments d’Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au XIXe siècle.


    Illustration de la preuve d'Euclide du théorème de Pythagore.
    [​IMG]


    Description : llustration of Euclid's proof of the Pythagorean theorem (I.47)
    Date : 3 novembre 2007
    Source : Travail personnel
    Auteur : Smjg
    "Moi, propriétaire du copyright de cette œuvre, la place dans le domaine public.
    Ceci s'applique dans le monde entier.
    Dans certains pays, ceci peut ne pas être possible ;
    dans ce cas : J'accorde à toute personne le droit d'utiliser cette œuvre
    dans n'importe quel but, sans aucune condition,
    sauf celles requises par la loi.
    "
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    Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. Archimède qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et Apollonius de Perge dont le traité sur les coniques est considéré comme un classique de la géométrie grecque.

    Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'Alexandrie.

    Diophante étudiera les équations dites diophantiennes, et sera appelé le "père de l'algèbre".



    Mathématiques de la Grèce antique

    Les mathématiques de la Grèce antique désignent les mathématiques développées en langue grecque, autour de la mer Méditerranée, durant les époques classique et hellénistique. Elles couvrent ainsi une période allant du VIe siècle av. J.-C. jusqu'au Ve siècle de notre ère.

    Les mathématiques hellénistiques incluent toutes celles écrites en grec. Elles englobent donc les mathématiques égyptiennes et babyloniennes d'une grande partie de cette époque.

    Les mathématiques de la Grèce antique sont de grande importance dans l'histoire des mathématiques, puisque c'est avec elles qu'apparaissent les fondements du raisonnement mathématique et de la géométrie, et avec elles aussi que la méthode axiomatique voit le jour. Elles ont par ailleurs défini les premières bases de la théorie des nombres et des mathématiques appliquées et se sont approchées de la notion d'intégrale.


    Le système numérique

    En Grèce, le nombre est né de la cité. En effet, dans son organisation, mais aussi dans la poésie ou encore l'architecture, le nombre est le révélateur d'une nouvelle prise sur le réel qui va de pair avec l'élaboration de la cité.

    Le système grec est décimal. Dans la cité s'élabore au VIIe siècle une numération de type acrophonique, c’est-à-dire que les signes sont empruntés à la première lettre du nom du nombre. Par exemple, déka, 10, s'écrit d. La numération comporte une double série de signes : des signes simples, qui, sauf pour l'unité, sont la première lettre du nom du nombre correspondant, et des signes composés pour les multiples de 5.

    Calculateurs

    Le 9 juin 2006, des scientifiques ont identifié la machine d’Anticythère vieille de plus de 2000 ans comme étant le plus ancien calculateur analogique. C'est un mécanisme permettant de calculer la position de certains astres, tels que le Soleil et la Lune, de prédire les éclipses lunaires et la même couleur qu'aurait la lune (c'est-à-dire noir ou rouge-noir selon les indications en grec relevées qui ont été vérifiées). (Le mécanisme est basé sur les cycles de progression de l'arithmétique babylonienne. Au deuxième siècle avant J.-C., Hipparque a développé une théorie pour expliquer les irrégularités du mouvement lunaire à cause de son orbite elliptique). Il est daté d'avant les alentours de 87 av. J.-C. et c'est le plus vieux mécanisme à engrenages connus.

    Machine d'Anticythère
    [​IMG]

    Description :
    Fragment principal de la machine d'Anticythère. Le mécanisme consiste en un système complexe de 32 roues et plaques portant des inscriptions relatives aux signes du zodiaque et aux mois. L'étude des fragments suggère qu'il s'agissait d'une sorte d'astrolabe utilisée pour la navigation maritime. L'interprétation désormais généralement acceptée remonte aux études du professeur Derek de Solla Price, qui fut le premier à suggérer que le mécanisme est une machine à calculer le calendrier solaire et lunaire, c'est-à-dire une machine ingénieuse pour déterminer le temps sur la base des mouvements du soleil et de la lune, leur relation (éclipses) et les mouvements des autres étoiles et des planètes connues à cette époque. Le mécanisme fut probablement construit par un mécanicien ingénieux de l'école de Poséidonios à Rhodes. Cicéron, qui visita l'île en 79/78 a. C. rapporte que de tels engins étaient en effet conçus par le philosophe stoïcien Poséidonios d'Apamée. La conception du mécanisme d'Anticythère paraît suivre la tradition du planétarium d'Archimède, et peut être reliée aux cadrans solaires. Son mode opératoire est basé sur l'utilisation de roues dentées. La machine est datée de 89 a. C. environ et provient de l'épave trouvée au large de l'île d'Anticythère. Musée archéologique national, Athènes, n°15987.
    Date et heure : 20 décembre 2005 à 11:48
    Utilisateur : Marsyas
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    Creative Commons paternité – partage à l’identique 3.0 (non transposée)
    http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/deed.fr
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    Cicéron évoque deux machines semblables. La première, construite par Archimède, se retrouva à Rome grâce au général Marcus Claudius Marcellus. Le militaire romain la ramena après le siège de Syracuse en 212 av. J.-C., où le scientifique grec trouva la mort. Marcellus éprouvait un grand respect pour Archimède (peut-être dû aux machines défensives utilisées pour la défense de Syracuse) et ne ramena que cet objet du siège. Sa famille conserva le mécanisme après sa mort et Cicéron l'examina 150 ans plus tard. Il le décrit comme capable de reproduire les mouvements du Soleil, de la Lune et de cinq planètes :

    «hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in [caelo] sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione» Cicero, De Re Publica I 22.
    Traduction : «Lorsque Gallus actionnait cette sphère, il se produisait que la lune succédait au soleil en autant de tours dans le cuivre que de jours dans le ciel même, par quoi il se produisait aussi dans le cadran du soleil le même retard, et la lune tombait dans le cône constitué de l’ombre de la terre au moment même où le soleil, dans la direction... »

    Si Cicéron ne se trompe pas, cela voudrait dire que cette technologie existait dès le IIIe siècle av. J.-C..
    Cicéron mentionne également un objet analogue construit par son ami Posidonios (Cicero, De Natura Deorum II.88)


    Les deux mécanismes évoqués se trouvaient à Rome, cinquante ans après la date du naufrage de l'épave d'Anticythère. On sait donc qu'il existait au moins trois engins de ce type. Par ailleurs, il semble que la machine d'Anticythère s'avère trop sophistiquée pour ne constituer qu'une œuvre unique

    Mathématiciens

    Parmi les mathématiciens les plus connus, on compte Euclide, Pythagore, Archimède, Zénon, Ptolémée et Diophante. Toutefois, l'école pythagoricienne à elle seule compte de nombreux autres mathématiciens dont les travaux sont connus sous le nom de Pythagore.

    Liste de mathématiciens de la Grèce antique

    Liste des principaux mathématiciens ayant contribué aux mathématiques de la Grèce antique.

    Avant J.-C.
    Antiphon le Sophiste (Grèce, Ve siècle av. J.-C.)
    Apollonios de Perga (Pamphylie, -262 - -180)
    Archimède (Sicile, -287 - -212)
    Archytas de Tarente (Grèce, -428 - -347)
    Aristarque de Samos, (Grèce, -310 - -230)
    Aristée l'ancien, (Grèce, -370 - -300)
    Aristote (Grèce, -384 - -322)
    Autolycos de Pitane (Grèce, -360 - -300)
    Callippe de Cyzique (Grèce, -370 - -300)
    Conon de Samos (Grèce, -280 - -220)
    Démocrite d'Abdère (Grèce, -460 - -370)
    Dinostrate (Grèce, milieu du IVe siècle av. J.-C.)
    Dioclès (Grèce, 1re moitié du IIe siècle av. J.-C.)
    Ératosthène (Grèce, -276 - -196)
    Euclide (Grèce, env. -365 - -275)
    Eudoxe de Cnide (Grèce, -408 - -347)
    Geminos de Rhodes (env. -110, env. -40)
    Hipparque de Nicée (Grèce, env. -190 - env. -120)
    Hippase de Métaponte (Grèce, milieu du Ve siècle av. J.-C. )
    Hippias d'Élis (Grèce, environ -460)
    Hippocrate de Chios (Grèce, milieu du Ve siècle av. J.-C.)
    Ménechme (Grèce, milieu du IVe siècle av. J.-C. )
    Nicomède (Grèce, IIe siècle av. J.-C.)
    Œnopide de Chios (Grèce, Ve siècle av. J.-C.)
    Platon (Grèce, -427 - -446)
    Polyaine de Lampsaque (en)
    Pythagore de Samos (Grèce, -580 - -500)
    Perseus (it) -150
    Thalès de Milet (Grèce, env. -625 - -547)
    Théano (mathématicienne) (Grèce, VIe siècle av. J.-C.)
    Théétète d'Athènes (Grèce, -415 - -369)
    Théodore de Cyrène (Grèce, -470 - -420)
    Théodose de Tripoli (Bithynie, -160 - -100)
    Thymaridas de Paros (en) (Grèce, -400 - -350)
    Zénodore (Grèce, 2e moitié du IIe siècle av. J.-C.)
    Zénon d'Élée (Grèce, -490 - -430)

    Ier siècle
    Héron d'Alexandrie (Égypte, fin du Ier siècle)
    Ménélaos d'Alexandrie (Égypte env. 70 – env. 140)
    Théon de Smyrne (70 - 135)

    IIe siècle au IVe siècle

    Diophante d'Alexandrie (Égypte de Ptolémée, env. 214-298)
    Hypatie d'Alexandrie (Égypte, env. 370-415)
    Nicomaque de Gerasa (Grèce, v. 200)
    Pappus d'Alexandrie (Grèce, IVe siècle)
    Ptolémée (Égypte, IIe siècle)
    Théon d'Alexandrie (Égypte, 1re moitié du IVe siècle)


    Ve siècle
    Anthemius de Tralles (Byzance, env. 474-534)
    Anicius Boèce (Italie, 475-524)
    Domninos de Larissa (Syrie, 420-480)
    Eutocios d'Ascalon (Israël, 480-540)
    Proclos (Grèce, 412 - 485)

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    Civilisation islamique

    Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer le Perse Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie

     
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    Occident


    Durant le Moyen Âge


    Le rôle du Moyen Âge fut essentiel pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes. C'est enfin peu après la fin du Moyen Âge que l'on considéra les quantités imaginaires, qui permettaient de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du troisième degré.

    Durant la renaissance européenne

    Dès le XIIe siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs. Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, à la suite de la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath.

    L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux XIVe siècle et XVe siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadrivium mais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou «écoles d'abbaques» où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs «traités d'abbaque» que ces maîtres nous ont laissés.

    Les nombres complexes apparaissent lors des travaux de Scipione del Ferro, à l'occasion de la résolution des équations de degrés trois. Repris par Tartaglia, et publiés par Cardan, ils trouvent une première forme avec Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

    Jusqu'à la fin du XVIe siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul symbolique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).
     
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    ... suite Occident




    Mathématiques en Europe au XVIIe siècle


    Au XVIIe siècle, en Europe
    , se produit un formidable développement des mathématiques qui se tournent vers la résolution de problèmes pratiques dans un contexte d'amélioration des échanges et des communications. L’intérêt des mathématiciens se concentre désormais sur des problèmes techniques précis, aboutissant à une nouvelle façon de faire des mathématiques, avec en particulier le passage des spéculations (les sciences théorétiques) aux inventions et à l’émergence des constructions. Progressivement, l’idée de comprendre va remplacer celle d’expliquer et comme «on ne peut pas à la fois admirer et surpasser les anciens» le siècle va finalement rompre avec l’héritage antique.


    Une situation favorable

    L'Europe du XVIIe siècle offre aux savants des conditions propices à l'étude et à l'échange qui vont contribuer à la formidable expansion des sciences et des mathématiques.

    C'est durant ce siècle que commencent à se constituer dans les capitales européennes des académies des sciences regroupant scientifiques et mathématiciens : l'académie dei Lincei à Rome en 1603, La Royal Society à Londres vers 1645, l'académie del Cimento à Florence en 1657 et l'académie royale des sciences de Paris en 1666. Au sein de ces académies, des scientifiques de tous bords se réunissent pour partager et confronter leurs idées. Ainsi l'académie royale de Paris regroupe sept mathématiciens (dont Huygens et Roberval) et six physiciens. L'État met à leur disposition des laboratoires et des moyens pour poursuivre leur recherche mais les académies ont aussi pour rôle de centraliser et valider les travaux et les mémoires qui leur sont envoyés de partout. Elles jouent ainsi un rôle fédérateur des savoirs.

    L'importance de la Compagnie de Jésus, durant cette période reste prépondérante. Garante d'une certaine orthodoxie, elle fut, certes, un frein au développement des idées nouvelles comme l'héliocentrisme de Galilée, mais elle fournit par ailleurs de nombreux mathématiciens de qualité (Clavius, Grégoire de Saint-Vincent, Saccheri, Ceva, Bachet de Méziriac...). Elle offre aux chercheurs la possibilité de se consacrer aux études ainsi qu'un réseau très étendu de savants et d'enseignants à travers toute l'Europe. C'est ainsi qu'elle forme des mathématiciens comme Descartes, Mersenne, Fontenelle ou Cassini. Les principes de l'Ordre préconisent un «devoir d'intelligence» mis au service de la connaissance et favorise ainsi la confrontation des idées.

    Les cours royales, à l'instar de ce qui se pratiquait quelques siècles auparavant dans les cours persanes, regroupent chercheurs et mathématiciens autour de protecteurs qui leur permettent de travailler dans une relative sérénité.

    Les communications à travers toute l'Europe se développent. Les échanges en langue nationale (allemand, anglais, français, italien) prennent de l'ampleur mais le latin reste encore pour ce siècle la langue d'échange privilégiée des savants. C'est en latin que Bacon publie son Novum Organum (1620) ou Leibniz ses Acta eruditorum. Le français devient à cette époque langue diplomatique et s'avère un vecteur important de communication et d'échange. Les mathématiciens de ce siècle communiquent abondamment par lettres, confrontant leurs idées et annonçant leurs publications. Nombre d'erreurs et d'imprécisions sont ainsi rapidement rectifiées, des embryons d'idée sont ainsi développés par une communauté internationale de mathématiciens. La correspondance du Minime Marin Mersenne est à ce point exemplaire car il sert d'intermédiaire entre les mathématiciens Descartes, Gassendi, Roberval et Fermat. Les avancées sur le calcul intégral (problème de la chaînette...) sont le fruit d'échanges épistolaires fructueux entre Bernoulli, Leibniz et Huygens. Les publications de périodiques se multiplient. Le Journal des savants est publié à Paris dès 1665, les Philosophical Transactions paraissent à Londres en 1665 et les Acta eruditorum à Leipzig en 1682. Mais les mathématiciens n'hésitent pas non plus à se déplacer et voyager pour rencontrer et dialoguer avec d'autres chercheurs européens. Descartes, Huygens, Mersenne, Leibniz parcourent ainsi l'Europe à la rencontre de leurs confrères. Les voyages à Paris, en Italie, en Hollande ou à Londres deviennent des passages obligés dans la formation des mathématiciens et permettent un brassage important des idées et des cultures.

    Ainsi tout contribue au développement et à la communication des idées nouvelles.


    Des mathématiques
    au service des sciences et des techniques



    L'idée de nouveau

    Au XVIIe siècle on passe des spéculations aux inventions. L’époque est habitée par l’idée de faire du nouveau, c’est la naissance des méthodes, à l'image du Discours de la méthode de René Descartes, et qui sont un «art d’inventer». L’objectif est d’obtenir des sciences actives donnant la possibilité d’être «comme maître et possesseur de la nature». Francis Bacon publia son Novum Organum en 1620, pour un nouvel Organon en référence au travail d’Aristote, projet ambitieux s'il en est. Dans ses écrits, il chercha à persuader ses contemporains de rompre avec les anciens et précisa la méthode baconienne destinée à obtenir des créations nouvelles. Les anciens posaient des grands principes ; la méthode de Bacon est elle fondée sur l’induction : à partir du particulier, il s’agit d’énoncer des axiomes pour revenir au particulier car Bacon cherche à élaborer une science active, une science en spirale très éloignée de ce que présente Aristote dans l’Organum.

    Comprendre versus expliquer

    Si pour Aristote la connaissance scientifique avait pour finalité d’expliquer, de déterminer les causes, il s’agissait désormais de comprendre c’est-à-dire de déterminer comment cela fonctionne.
    Par exemple, dans la chute d’un corps il s’agissait pour Aristote de déterminer pourquoi cela tombe, quelle était la cause, alors assimilée au principe selon lequel le grave « rejoint son lieu naturel ». Avec Galilée la question devient comment se fait cette chute. Galilée travaillait aux arsenaux de Venise, il avait en vue des problèmes techniques précis comme la trajectoire d’un boulet de canon ou sa portée maximum. Si l’accélération du mouvement est connue depuis Aristote, Galilée ne se demande plus pourquoi la vitesse augmente mais bien comment elle augmente c’est-à-dire dans quelle proportion. Pour cela il cherche à quantifier, à numériser, en commençant par récuser la distinction antique entre le naturel et l’artificiel.


    [​IMG]

    En se déplaçant le long de sa directrice,
    la parabole est toujours vue sous un angle droit.

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    Date et heure : 6 janvier 2007 à 13:26
    Utilisateur : Maxime chupin
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    La naissance du courbe et de l'objet cinématique

    Galilée travaillait sur la trajectoire du boulet de canon tiré, problème qui induit une réflexion au sujet de la courbe et bientôt du courbe.
    Dans les mathématiques grecques il est fait état d’environ 12 courbes particulières étudiées et correspondant à des problèmes géométriques : c’est ainsi que les coniques ont été introduites pour résoudre le problème géométrique de la duplication du cube
    Au XVIIe siècle, l’étude concerne la courbe en général qui n’est plus uniquement un problème géométrique et devient un problème cinématique, c’est-à-dire où le mouvement est concerné ce qui fait rupture par rapport à la géométrie grecque. Dans ce contexte la parabole devient un objet cinématique et non plus exclusivement statique.

    [​IMG]
    Le point mobile engendre une cycloïde droite.
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    Date et heure : 3 juillet 2005 à 09:13
    Utilisateur :
    Anarkman
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    Galilée et l’expérimentation, en rupture avec les anciens

    Lorsque Niccolo Fontana Tartaglia étudie la question des artilleurs et dans son ouvrage de 1537 sur la nova sciensa, il cherche à définir l’angle d’inclinaison du canon pour avoir une portée maximum. Cependant il part encore de la classification d’Aristote basée sur la différence entre mouvement violent et mouvement naturel avec la théorie de l'impetus. Un siècle plus tard, Galilée n’hésite pas à mêler mouvement violent et naturel. Il traite également les problèmes des artilleurs tels la portée selon l’inclinaison du canon. Galilée est proche des hommes de l’art comme le puisatier, il propose des tables de tir ou une méthode d’utilisation de la hausse. C’est aussi à cette époque que s’élabore définitivement la notion de fonction. Galilée quitte l’enseignement de l’Université pour se consacrer à ses recherches et, dans une lettre au secrétaire du grand duc de Toscane, il élabore un véritable programme de recherche où la technique est bien présente aux côtés de problèmes plus mathématiques ou purement physiques. Pour lui, il n’est plus question d’étudier seulement la physis, c’est-à-dire ce qui est naturel dans la classification d’Aristote mais aussi ce qui est artificiel comme le mouvement violent. Ainsi naissent les problématiques relatives au temps et à l’espace parcouru, à la mesure des distances. Un de ces prédécesseurs Nicole Oresme, réalisant des travaux sur des thèmes proches, s’intéressa à la vitesse mais pas à la distance. Il est manifeste que Galilée a dans l’idée d’expérimenter car, si le temps et la distance sont accessibles, en reliant les deux on obtient la loi de chute des graves. Galilée vérifie par une expérience que la distance est proportionnelle au carré des temps et s’abstient de réfléchir sur les causes.

    René Descartes et l'optique géométrique

    René Descartes était passionné par les problèmes pratiques, les problèmes d’ingénieurs et se situait également dans une posture de critique des anciens. Il travailla sur les courbes optiques telles l'anaclastique de l’ingénieur Cornier de Rouen. Il s’agissait de déterminer la forme d’un dioptre (verre optique) de telle sorte que les rayons de lumière arrivant de manière parallèle vont se réfracter en un point unique. Dans cette recherche, Descartes trouve la loi de la réfraction et abandonne l’idée de trouver la cause de cette réfraction. Pour cela il résout un problème mathématique de type «inverse des tangentes» (on connaît une propriété des tangentes et on cherche la courbe correspondante) et qui donne la forme de la courbe et donc du verre optique. On sait que deux formes sont possibles : l’hyperbole et l’ellipse. Descartes abandonne à cette occasion la définition des Anciens comme intersection d’un cône et d’un plan pour préférer la définition issue de la manière dont les jardiniers dessinent l’ellipse et l’hyperbole dans leurs jardins. Par suite, Descartes donnera des recommandations pour construire les machines à tailler ces verres. Pour autant, après résolution du problème de l’anaclastique,* Descartes traite le problème des ovales que lui se pose. Il s’agit ici de déterminer la forme d’un dioptre de façon que des rayons partent d’un point, rencontrent le verre et se rejoignent en un même point. Descartes trouve une courbe à trois foyers qui va bien au-delà des mathématiques des anciens et aboutit à sa méthode d’inversion des tangentes donnée au livre II. Dans cette recherche, il rend hommage à Kepler, événement rare dans l’œuvre de Descartes.

    *Selon l'encyclopédie de Diderot et d'Alembert, l'anaclastique est la partie de l'optique qui a pour objet les réfractions. Les courbes anaclastiques sont selon Descartes «les courbes qui permettent par réfraction de rompre (Klao en grec, briser) des rayons parallèles pour les faire converger en un point»


    Christian Huygens ou le «secret des longitudes»

    Un autre problème technique concret fut à la source d’innovation mathématiques et techniques au XVIIe siècle : il s’agit de la détermination des longitudes en mer. Celles-ci étaient alors difficilement accessibles par des observations astronomiques directes ou des procédés hasardeux comme l'observation de la déclinaison magnétique. On savait en théorie qu'une meilleure solution était le recours à des horloges embarquées dont on comparait l’heure avec celle du port de départ, le décalage horaire donnant la longitude. Richelieu avait promis une forte somme d’argent, comme le roi d’Angleterre ou le stathouder de Hollande à qui trouverait le «secret des longitudes» car sa connaissance autorisait la maîtrise des mers et le développement du commerce.

    Dans cette recherche, Christian Huygens s'intéresse aux oscillations isochrones (1656 - 1659) et publie ses résultats sur l'isochronisme de l'oscillation cycloïdale. Il applique ce résultat à la conception des horloges : pour que la période des oscillations soit indépendante de l'amplitude, il faut que le mouvement s'effectue sur une cycloïde. Il utilise pour ce faire deux lames métalliques correctement recourbées entre lesquelles il fixe son pendule. Ce système permet de régulariser le mouvement et d’obtenir un battement isochrone du pendule qui n’est pas naturel contrairement à ce croyait Galilée. Il construit sa première horloge en 1657 ; qui ne se décale que de 15 secondes par jour. Il en confie quelques exemplaires à des marins mais leur réalisation pratique n'est pas assez robuste et elles ne résistent pas aux efforts dus aux mouvements des bateaux. Il faudra attendre le siècle suivant avec John Harrison, Ferdinand Berthoud et Julien Le Roy pour que soit enfin résolu le problème des longitudes par le développement des chronomètres de marine.


    Des outils théoriques qui s'affinent

    C'est au cours de ce siècle que se mettent en place des outils nécessaires au développement des mathématiques principalement en analyse.


    Algèbre

    La révolution symbolique initiée par François Viète de 1591 à 1603 se poursuit avec la publication de ses œuvres par Alexander Anderson (1612-1619), Marin Ghetaldi (1615), Jean-Louis Vaulezard (1630), Claude Hardy (1630), Jean de Beaugrand (1624 et 1631), James Hume (1636) et Frans Van Schooten (1646). Cette nouvelle algèbre (on préfère alors le terme d'analyse symbolique) est amplifiée par les travaux des anglais Nathanael Tarporley, William Oughtred et Thomas Harriot et du français Pierre de Fermat. Ainsi, se mettent en placent toutes les règles du calcul littéral. Sa mise en forme définitive s'achève avec Descartes dans ses Regulae et dans sa Géométrie (1637), qui, outre les opérations usuelles (additions, multiplication, soustraction, division, racine carré et racine cubique), fournit une définition de l'exponentielle. Cette période de formation du calcul algébrique (1591-1637) voit se réaliser une véritable rupture avec les rédactions plus anciennes. Elle va permettre une plus grande lisibilité dans la résolution des équations, le traitement des polynômes et la mathématisation des problèmes.

    S'appuyant sur les travaux de ses prédécesseurs, Leibniz approfondit l'usage de la notation symbolique dans des ouvrages marquants comme Conspectus calculi et Mathesis universalis. Il exploite à son avantage cet outil pour développer de nouvelles méthodes de résolution dans son De arte combinatoria (1666). Il s'attache à la résolution des systèmes d'équations linéaires et met en place pour la première fois la notion de déterminant (1684), celle d'élimination et de résultante. Il applique son imagination à cette nouvelle écriture pour créer du neuf et invente le concept de puissance réelle d'un réel avant de pouvoir en donner une définition mathématique rigoureuse. Il est suivi ou précédé dans cette recherche par Isaac Newton.

    Arithmétique

    L'arithmétique apparait en Europe durant ce siècle. Les mathématiciens redécouvrent le savoir de l'antiquité et développent de nouvelles techniques pour résoudre des questions parfois anciennes. Ils se limitent à la branche des mathématiques appelée arithmétique modulaire.

    Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante d'Alexandrie Arithmetica en latin et il démontre l'identité maintenant connue sous le nom de théorème de Bachet-Bézout. Ce sujet passionne Pierre de Fermat
    * qui énonce un grand nombre de propositions sur ce sujet. On peut citer son petit théorème, celui sur les deux carrés et son dernier théorème. La communauté scientifique se lance des défis sur ce sujet, ainsi Fermat demande : «un nombre carré qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes (ie ses diviseurs), fasse un cube.» Il conclut par : «j'attends la solution de ces questions ; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise».

    Les nombres premiers fascinent. Mersenne en développe une famille et Fermat une autre. Ils communiquent largement entre eux sur ce sujet, comme l'atteste cette lettre de Fermat : «Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65 537, ..., sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». René Descartes n'est pas en reste. Il cherche en vain à démontrer que si la division par huit d'un nombre premier donne pour reste un ou trois, il s'écrit de la forme
    [​IMG].

    On peut encore citer Leibniz qui démontre un résultat redécouvert au XVIIe siècle et qui prendra le nom de théorème de Wilson. Il propose aussi une démonstration plus rapide vers 1683 du petit théorème de Fermat.

    Géométrie

    Durant ce siècle, la géométrie se détache de la notion ancienne d'ensemble de points ou de figures de référence pour entrer dans l'ère de la géométrie des coordonnées créée par Pierre de Fermat et René Descartes. Ces mathématiciens cherchent à associer des courbes et des surfaces à des équations algébriques et permettent ainsi un échange fructueux entre deux domaines (géométrie et algèbre). Descartes met en place les outils de calcul de tangente au point A à une courbe en recherchant la droite passant par A et ne possédant en commun avec la courbe qu'un point double. De même, la méthode des cercles tangents lui permet de trouver de manière algébrique la normale à la courbe (la perpendiculaire à la tangente). Il définit les courbes géométriques à l’aide de mouvements à condition «qu’ils soient bien réglés entre eux », et donne une méthode universelle, avec introduction d’un élément d’unité, de la géométrie algébrique. Parallèlement, Fermat s'attache à l'étude des maxima et des minima.

    En réaction contre cette tendance de la géométrie traitée par les nombres dans ce qui devient la Géométrie Analytique, Leibniz développe l'idée qu'il doit être possible de trouver pour la géométrie des outils aussi performants qu'ont été les notations de Viète pour l'Algèbre. C'est son projet d'Analysis Situs qu'il ne réussira jamais à mettre au point.

    Desargues, quant à lui, dans son ouvrage paru en 1636, Pratique de la perspective développe une approche projective de la géométrie et complète son étude trois ans plus tard par l'exploration des coniques. Son travail est repris et approfondi par Blaise Pascal, Philippe de La Hire et Isaac Newton (Philosophiae naturalis principia mathématica 1687).

    Analyse

    C'est surtout dans ce domaine que l'on note un progrès considérable avec la notion de limite et de calcul infinitésimal. La construction des tangentes aux courbes étudiée par Descartes, Fermat et Roberval pose les premiers jalons du calcul différentiel. Dès le début de ce siècle se pose la question de la recherche de l'inverse des tangentes (ou comment trouver une courbe quand on connaît une propriété tangentielle). En 1645, Roberval propose ses quadratrices.

    Le début du XVIIe voit le développement de l'étude des aires sous les courbes ; Cavalieri met en place sa méthode des indivisibles (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promata, 1635) développée par Torricelli, Stefano degli Angeli, Gregory et Wallis.

    Sa méthode, novatrice, est cependant supplantée à la fin du XVIIe siècle quand se met en place le calcul infinitésimal et intégral développé conjointement par Leibniz (les infiniment petits, Nouveau calcul, 1684) et Newton (les fluxions, écrit en 1670 et publié en 1690). Dès la parution du calcul différentiel de Leibniz, sa méthode est utilisée dans le monde des mathématiciens. John Craig l'exploite dans un livre traitant des quadratures. Leibniz comprend que sa méthode permet de résoudre le problème inverse des tangentes (l'intégration) et c'est Jacques Bernoulli qui emploie pour la première en 1690 le terme intégral. Jacques et Jean Bernoulli utilisent ce nouveau calcul pour l'étude de courbes particulière (courbe isochrone, courbe brachistochrone). En 1696, le marquis de l'Hospital, instruit par Jean Bernouilli, publie Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes. Ce nouveau calcul présente des imprécisions qui seront levées à la fin du siècle et au début du siècle suivant grâce à un grand débat ouvert à l'Académie Royale des Sciences. Le calcul des fluxions de Newton trouve, quant à lui, un développement parmi les mathématiciens anglais.

    Dans la seconde moitié du XVIIe siècle, l'école anglaise est florissante. John Wallis approfondit le calcul des indivisibles. Avec James Gregory et Isaac Newton, il travaille sur le développement en série entière. Mercator découvre l'aire sous l'hyperbole en développant en série 1/(1+x) (Logarithmotechnia, 1668). Isaac Newton développe en série Arccos, Arcsin, cos et sin (avant 1670).

    Le XVIIe siècle voit aussi la naissance de deux fonctions transcendantes : la fonction logarithme et la fonction exponentielle. Mise en place par John Napier (1614) qui lui donne le nom de logarithme (logarithme d'un sinus), et Jost Bürgi (1620), La fonction logarithme n'est au départ qu'une table de correspondances pour des calculs astronomiques. Henry Briggs en 1615 propose une table de logarithmes décimaux. Puis c'est l'invention de la règle à calcul en 1624 par Edmund Gunter. De tables de correspondances, le logarithme prend progressivement le statut de fonction avec l'aire sous l'hyperbole attribuée à Grégoire de Saint-Vincent (1647), étudiée aussi par James Gregory (1667) et Huygens qui font le lien entre cette aire et les propriétés des logarithmes. En 1668, Brouncker et Mercator les développent en série entière (log 2, log 5/4, puis log (1+x)) puis vient sa définition intégrale écrite par Leibniz sous la forme
    [​IMG] .
    La fonction exponentielle n'est au départ que l'extension de
    [​IMG] à des exposants d'abord négatifs puis fractionnaires. Elle s'appuie sur la notation exponentielle de Descartes (1637) développée ensuite par Leibniz mais c'est au cours du siècle suivant avec Euler que cette fonction sera complètement étudiée.

    Tous ces nouveaux outils vont permettre le développement au siècle suivant de l'étude des fonctions et de la cinématique.

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    Nom de la page : Mathématiques en Europe au XVIIe siècle



    ........ à suivre
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  14. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    ... suite Occident

    Le XVIIIe siècle

    L'univers mathématiques du début du XVIIIe siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle.

    Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (Introductio in analysin infinitorum - Euler, 1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces). Leonhard Euler, dans Calculi différentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770) essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du XVIIIe siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles.

    La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques (Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes.

    Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur R possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique D'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement: on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au XVIIIe siècle...

    En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme [​IMG] (nombre de Fermat). Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente. La conjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p-1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique.La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

    Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Étienne Bézout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations [​IMG] (équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange: l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations.

    La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIIIe reste Gaspard Monge. Celui-ci développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline: la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

    Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations.

    C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens: un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poète Rudrata en parlait aussi dans le Kavyalankara, un texte indou.

    Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring, ...

    Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

    Le XVIIIe siècle est aussi celui de l'encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

     
  15. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    XIXe siècle


    L'histoire mathématique du XIXe siècle est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle.

    Le XIXe siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniment petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au XIXe siècle, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du système solaire ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la mécanique des fluides, la résistance des matériaux et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du XVIIIe siècle finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du XVIIIe siècle que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra "fermer la mine", à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémices de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du XIXe siècle, ne verra son accomplissement qu'au début du XXe siècle par la remise en cause de bien des a priori.

    Revues de mathématiques
    • Il existait depuis la fin du XVIIe siècle quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les Acta Eruditorum édités par Otto Mencke à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du XIXe va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont Ferussac (pour le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques), Gergonne (pour les Annales de mathématiques pures et appliquées), Crelle (pour le Journal für die reine und angewandte Mathematik), Liouville (pour le Journal de mathématiques pures et appliquées) pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les Acta Mathematica de Mittag-Leffler en 1882.

    Mécanique
    • La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de Maupertuis, Lagrange énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvé en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
    • Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée. Faye s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : «Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au 7e ordre là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock, ...) s'étaient arrêtés au 5e.
    • Le Verrier appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'Uranus que venait de découvrir Herschel, conjecture l'existence d'une planète encore inconnue (Neptune) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
    • Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois intégrales premières algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, Poisson et Poinsot. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique.
    • Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par Sofia Kovalevskaïa. Poincaré avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution.
    • Mach énonce un principe qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
    • Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder et Flaubert pourra présenter comme une idée reçue que c'est une «partie inférieure des mathématiques».

    Physique mathématique
    Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire les fonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles introduisant la viscosité. L'électricité, fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savart et d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau, Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore le béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel.


    Théorie des nombres
    Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le dernier théorème de Fermat. Le XIXe siècle offre des progrès considérables sur ces trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.
    • En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocité quadratique, Legendre (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Gauss finit par en donner une longue démonstration complète dans ses recherches arithmétiques. La démonstration est simplifiée dans le courant du XIXe siècle, par exemple par Zeller en 1852 où elle ne fait que deux pages ! La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
    • Eisenstein démontre la loi de réciprocité cubique.
    • Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le théorème de la raréfaction des nombres premiers et de proposer une formule approchée pour π(x), le nombre de nombres premiers plus petit que x. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le crible d'Ératosthène. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la méthode du crible. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre n2 et (n + 1)2 existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
    • La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire Lejeune-Dirichlet qui démontre une conjecture de Legendre : il existe une infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique de la forme an+b si a et b sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de caractère arithmétique et les séries de Dirichlet.
    • La conjecture de Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de Tchebychev en 1850. Il démontre un encadrement de π(x) conforme à la conjecture et il démontre le postulat de Bertrand selon lequel il existe un nombre premier entre n et 2n. Mais la conjecture de Legendre ne sera démontrée qu'en 1896, par Hadamard et De La Vallée Poussin indépendamment.
    • Le résultat le plus important est le mémoire de Riemann de 1859 qui reste encore aujourd'hui le mémoire du XIXe siècle le plus souvent cité. Riemann étudie dans ce mémoire la fonction ζ «de Riemann». Cette fonction introduite par Euler dans son étude du problème de Mengoli est étendue aux valeurs complexes de s à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et von Mangoldt, après 1892.
    • Le dernier théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (n = 5), Dirichlet (n = 14), Lamé (n = 7), démonstration simplifiée par Lebesgue. Kummer démontre que le dernier théorème de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers en 1849. Il existe des nombres premiers irréguliers en nombre infini.
    • Mertens démontre de nombreux résultats sur les fonctions arithmétiques, en particulier la fonction de Möbius. Il émet en 1897 une conjecture qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par Odlyzko et te Riele (en) en 1985. La forme faible reste une énigme.


    Logique
    • George Boole se lance dans des travaux qui vont mener à l'algèbre de Boole, à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant démontrer l'existence de Dieu. Le calcul des propositions est né. Augustus De Morgan énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
    • Frege pose les bases de la logique formelle et Cantor celle de la théorie des ensembles. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des fondements est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au XXe siècle. Déjà pointent les paradoxes, tel celui de Burali-Forti, celui de Russell, celui de Richard ou celui de Berry dans la tentative de théorie des ensembles de Frege.


    Géométrie
    • Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge.
    • Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
    • Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La trisection de l'angle à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Concernant la quadrature du cercle, le XVIIIe siècle avait montré que était irrationnel. Liouville, définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du XIXe siècle restent les théorèmes d'Hermite (1872) sur la transcendance de e et de Lindemann (1881) sur celle de [​IMG] , rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas . C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le théorème de Gelfond-Schneider, que a et exp(a) ne peuvent être simultanément algébriques.
    • l'autre héritage concerne le postulat d'Euclide. Le problème avait en fait été quasi résolu par Saccheri mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une géométrie non euclidienne dont Poincaré donnera un modèle. Riemann, après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
    • En généralisant la notion d'espace et de distance, Ludwig Schläfli arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace.
    • Felix Klein annonce le programme d'Erlangen.
    • David Hilbert propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

    Algèbre
    • La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786), Caspar Wessel (1797) en passant par Jean-Robert Argand (1806), Mourey, pour aller à Giusto Bellavitis (1832). Hamilton, inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suite Cayley découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
    • Grassmann, en 1844, développe dans Die lineale ausdenungslehre une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des espaces vectoriels.
    • Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le théorème de Cayley-Hamilton pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un quaternion. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. Frobenius, en 1878, donne la première démonstration générale.
    • Les résultats de Galois et de Kummer montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées aux polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : Kronecker, Weber et Hilbert. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
    • Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

    Probabilité et statistiques
    • Legendre en 1805 1811 puis Gauss en 1809 introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la méthode des moindres carrés, ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en statistiques.
    • Pierre-Simon de Laplace fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa théorie analytique des probabilités de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du théorème central limite qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.
    • Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique, les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.
    • La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897.

    Théorie des graphes
    • La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.
    • La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le théorème de l'application conforme de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les états de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, Francis Guthrie à énoncer la conjecture des quatre couleurs. Il faut attendre plus de vingt ans pour que Cayley s'y intéresse. Un avocat, Alfred Kempe, proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que Percy John Heawood réfuta en 1890 par un contre-exemple invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.


    Analyse réelle
    • À la fin du XVIIIe siècle, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, parfois un peu douteuses, mais sans que cela choque le lecteur. Lacroix par exemple n'hésite pas à écrire
    [​IMG]

    sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/ (1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée...
    • C'est Cauchy qui met un peu d'ordre dans tout cela en montrant que la somme d'une série numérique n'est commutativement convergente que si la série est absolument convergente. Mais Cauchy, qui pourtant n'est qu'à un doigt de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.
    • C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du XVIIIe siècle dont Lacroix est l'un des héritiers.
    • Gudermann, en 1838, utilise pour la première fois, la notion de convergence uniforme. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série convergeant aussi lentement que l'on veut, notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est pas mûre. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
    • Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du XVIIIe siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
    • Karl Weierstrass donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque là, à partir de [​IMG], [​IMG]. La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
    • En 1869, Charles Méray, professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels par les classes d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de [​IMG] . Karl Weierstrass construit [​IMG] à partir de la notion d'«agrégats» tandis que Richard Dedekind crée [​IMG] de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
    • Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser.
    • Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
    • La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par Fejér.
    • Poincaré participe au concours du roi de Suède concernant les solutions du système des trois corps. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation chaotique. Il s'exprime ainsi :
    «Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur...»
    • Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les séries divergentes au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certain cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Césaro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le XXe siècle va prolonger.

    Analyse complexe
    • La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le XIXe siècle, prend sa source dans les travaux de Cauchy, bien qu'entrevue par Poisson. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le théorème des résidus et les principales propriétés de l'intégrale "de Cauchy" et notamment la formule intégrale de Cauchy.
    • Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe ∫. Il démontre les inégalités "de Cauchy" qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.
    • Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la valeur principale de Cauchy, un peu moins d'un siècle avant que Jacques Hadamard en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les parties finies de Hadamard (en) et que Laurent Schwartz n'en vienne aux distributions.
    • La théorie des fonctions analytiques se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une série entière à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, suite aux travaux de du Bois-Reymond qui donna une définition claire de la limite supérieure.
    • Ceci permet à Liouville de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.
    • À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à Riemann (Théorème de l'application conforme, intégrale de Riemann remplaçant la conception de Cauchy, ...) et Weierstrass qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien qu'Émile Borel ait montré par la suite que certaines des conceptions du "maître" étaient erronées).
    • La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par Legendre au siècle précédent. C'est Abel qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de Briot et Bouquet, théorie des fonctions elliptiques, 2e édition, 1875 et le traité de Georges Henri Halphen en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
    • Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de Picard qui précise le théorème de Weierstrass. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par Émile Borel à la fin du siècle.
    • Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires. Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra…).
    • Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, Oliver Heaviside, sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la transformation de Laplace est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de Lerch, Carson, Bromwich (en), Wagner, Mellin (de) et bien d'autres, au siècle suivant. Gabriel Oltramare donnera aussi un "calcul de généralisation" basé sur une idée voisine.
    • Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une fonction entière. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme Méray, Leau (en), Fabry, Lindelöf, étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la série de Taylor.
    • Poincaré définit et étudie les fonctions automorphes à partir des géométries hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
    • Schwarz et Christoffel découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
    • L'apothéose est atteinte par la démonstration du théorème des nombres premiers, en 1896, par Hadamard et de la Vallée Poussin indépendamment l'un de l'autre.

    Perspectives
    Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du XXe siècle.

    Les livres du siècle


    Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.



    A SUIVRE/

    XX[SUP]e[/SUP] siècle

     
  16. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    XX[SUP]e[/SUP] siècle

    Le XX[SUP]e[/SUP] siècle aura été un siècle extraordinairement fécond du point de vue mathématique. Trois grands théorèmes dominent tous les autres : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil qui entraîna la démonstration du dernier théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, suite aux travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, suite aux travaux de Grothendieck, ...


    La communauté mathématique explose

    • Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du XIX[SUP]e[/SUP] siècle. Grâce à la mondialisation, aux progrès des transports, et aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du XIX[SUP]e[/SUP] siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
    • Hormis deux congrès qui se sont tenus au XIX[SUP]e[/SUP] siècle, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au XX[SUP]e[/SUP] siècle, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
    • L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.

    • Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au XIX[SUP]e[/SUP] siècle, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle.
    • On a soutenu 292 thèses d'état de mathématiques entre 1810 et 1901 en France. À la fin du XX[SUP]e[/SUP] siècle, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

    Algèbre


    • Leonard Eugene Dickson commence l'étude systématique des corps finis et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.

    Mécanique

    • Édouard Husson, dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
    • La mécanique, qui n'avait que peu changé depuis Newton, devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, prétendant inclure le principe de Mach.
    • La spéculation cosmologique prend maintenant une tournure totalement inattendue par une mathématisation sophistiquée. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir le décalage vers le rouge. Ces progrès spectaculaires sont cependant tempérés par la découverte de la mécanique quantique. Si tout va bien de ce côté jusqu'à l'année 1924, la thèse de De Broglie remet tout en cause. Celle-ci part de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat et le principe de moindre action de Maupertuis pour le photon, associant ainsi à une particule une onde [​IMG] . L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à ne considérer l'onde [​IMG] que comme une probabilité de présence, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. La mécanique d'Einstein, dont on a vérifié la concordance avec les observations, s'accorde très bien aux faits expérimentaux à grande échelle. La mécanique quantique, de son côté est la reine à l'échelle atomique et moléculaire. Et les deux mécaniques ne s'accordent pas. Les différentes tentatives d'unification sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold, ... apportent chacune une idée nouvelle mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M, ... qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La théorie unitaire, la grande unification n'est pas pour ce siècle.
    • Alors qu'Einstein en avait fait une de ses motivations pour proposer la relativité, Kurt Gödel montre que le principe de Mach n'est pas inscrit dans les équations de la relativité générale.

    Analyse
    • Le siècle commence par la thèse de Lebesgue "intégrale, longueur, aire" qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont créées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock, ...). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.

    . Le siècle commence par la thèse de Lebesgue "intégrale, longueur, aire" qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont créées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock, ...). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.

    .La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces [​IMG]. Et sur les traces de Hilbert, Riesz, Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique. S'illustrent ainsi Guelfand, Chilov, Schwartz, Vekua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet à Sergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
    . La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Hermann Weyl, de son côté, fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoints non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Frigyes Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
    . En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
    . Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (XVIIe siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.


    Théorie des groupes
    . La théorie des groupes occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

    Topologie

    . Poincaré énonce en 1904 la conjecture qui porte son nom : « Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

    Équations différentielles

    . Dans l'étude des équations différentielles, Painlevé découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
    . Un mémoire de Henri Dulac, de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs X à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de X) qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes "démontrés", la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des "trous" mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par Jean Ecalle et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme "Pour tout champ de vecteurs analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas".

    Théorie des nombres

    . La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement par Szolem Mandelbrojt.
    . Robert Daniel Carmichael découvre les nombres de Carmichael en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité. Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre de nombres de Carmichael inférieurs à [​IMG], [​IMG], est minoré par à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de [​IMG]..

    . On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers (Landau, Erdős et Selberg…) et celles du théorème de Picard (Borel). La fonction zêta de Riemann, dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de Hardy et Littlewood, Speiser (de), Bohr, Hadamard… sans pour autant que le mystère ne soit résolu. Titchmarsh écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction ζ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
    . Le problème de Waring est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de g(k) tandis que Wieferich (en) s'attaque à la détermination du plus petit g(k) pour un entier k donné. Le problème de la détermination de G(k) est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de G(k) données par Vinogradov ont été améliorées par Heilbronn (en) (1936), Karatsuba (1985), Wooley (en) (1991). On connait les valeurs de G(k) pour k compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood… Linnik (en) donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de Schnirelmann.
    . Viggo Brun démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
    . Une forme faible de la conjecture de Goldbach est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.
    . André Weil démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.

    Pierre Deligne démontre, contre toute attente, la conjecture de Weil sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique.
    • Des travaux d'Yves Hellegouarch lient dès les années 1960 le dernier théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les courbes elliptiques, mais ce n'est qu'au milieu des années 1980 que Kenneth Ribet montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le dernier théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, Andrew Wiles annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le dernier théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est complètement démontrée.

    Graphes

    • Wegener (de) et Brendan McKay (en), indépendamment, montrent qu'il existe plus de 13 267 364 410 532 solutions au problème du cavalier et Ernesto Mordecki (en), un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10.

    Analyse complexe

    • La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par Constantin Carathéodory en 1912 en utilisant les surfaces de Riemann. Elle est bientôt simplifiée par Koebe (de). Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejér et Riesz, elle-même simplifiée par Ostrowski et Carathéodory.
    • Carathéodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle lemme de Schwarz. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que Pick l'a étendu en 1916. De nombreuses autres extensions, celles de Carathéodory (1926) et de Nehari (en) (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la métrique de Poincaré sous-jacente.
    • Bieberbach, en 1916, va émettre une conjecture généralisant le lemme de Schwarz qui ne sera définitivement résolue que par Louis de Branges de Bourcia, après près de 70 ans de recherches, en 1985.
    • Après la Première Guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori : l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
    • La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre d'Otto Blumenthal vers 1913.
    • L'importance de la formule de Jensen s'affirme dans la théorie de la croissance initiée par Émile Borel.

    Logique et théorie des ensembles

    • Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de Brouwer, de Henri Poincaré… Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'axiome du choix dont Kurt Gödel montrera en 1930 que, tout comme l'hypothèse du continu, il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans introduire de contradictions. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes: ce sont des propositions indécidables (Paul Cohen, 1963). Les démonstrations de non contradictions fleurissent (sous réserve de la non contradiction de la théorie des ensembles).
    • Dans la théorie de la démonstration, on notera les travaux d'Herbrand (1930) et de Gentzen, trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
    • On s'était demandé si toute proposition vraie, dans une axiomatique donnée, pouvait être démontrée. La réponse est non. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931) énonce que toute théorie non contradictoire capable de formaliser l'arithmétique ne permet pas de démontrer toutes les propositions vraies. Autrement dit, il existe des tautologies indémontrables dans toute théorie capable de formaliser l'arithmétique.
    • Church invente le lambda calcul et énonce sa thèse, Turing invente la machine abstraite qui porte son nom et Kleene précise la définition des fonctions récursives. La notion de fonction calculable est inventée. Matiyasevich démontre qu'il n'existe pas d'algorithme qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative au dixième problème de Hilbert. La théorie des automates et la théorie des langages apparaissent.
    • Donald Knuth publie son encyclopédie sur l'art de la programmation et crée un nouvelle discipline l'analyse d'algorithmes.

    Probabilités

    • La notion de mesure développée par Émile Borel en 1897 est complétée par Henri-Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration. Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la probabilité et entre autres de la densité de probabilité
    • La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901 et la première preuve du théorème moderne donnée par Paul Lévy en 1910.
    • En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites web sur Google.
    • En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov.
    • Kiyoshi Itō met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Döblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

    Analyse numérique

    • Richard Courant introduit les éléments finis en 1940 qui servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode ne prendra véritablement son essor qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performant et adaptés, ce qui n'apparaîtra pas avant les années 1980.
    • La méthode de Monte-Carlo se développe, sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont dénommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'équations différentielles stochastiques, et d'estimations d'intégrales multiples.

    Paradoxes apparents et curiosités

    • Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le paradoxe de Banach-Tarski : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
    • D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de Smale (qui utilise l'axiome du choix), sont démontrées.

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    A SUIVRE....




     
  17. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    Japon

    Durant la période Edo (1603 - 1887), au Japon, se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku.

    Mathématiques japonaises


    Les mathématiques japonaises ( 和算 , wasan ?) concernent les méthodes et résultats mathématiques développés au Japon durant l’ère Edo (1603-1867). Le terme Wasan, de Wa signifiant «Japon» et San, «mathématiques», est un néologisme créé dans les années 1870 par opposition au terme yosan désignant les théories occidentales.

    Dans l’histoire des mathématiques, le développement des wasan ne rentre pas dans le développement des théories occidentales et propose des solutions alternatives. Mais les wasan ne sont progressivement plus utilisées au début de l’ère Meiji (1868–1912) avec l’ouverture du Japon à la culture occidentale et l’adoption par les mathématiciens japonais des mathématiques occidentales.

    Histoire
    Ce modèle mathématique a évolué durant une période où le Japon est coupé de l’influence européenne. Kambei Mori est le premier mathématicien japonais connu. Kambei est professeur de mathématiques et compte parmi ses élèves Yoshida Shichibei Koyu, Imamura Chisho et Takahara Kisshu. Ces trois personnages seront connus plus tard comme les trois arithméticiens.

    Yoshida est l’auteur du plus ancien texte mathématique japonais connu. Cette œuvre de 1627 est connue sous le nom de Jinkoki et traite de l’arithmétique soroban.

    Seki Kōwa développe le calcul différentiel à la même époque que les européens.

    Le soroban dans Jinkoki de Yoshida Koyu (1641).
    [​IMG]
    Calculation avec le soroban dans Jinkōki (塵劫記) de Yoshida Mitsuyoshi, édition de 1641.
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    Soroban

    Le soroban est le boulier japonais.
    [​IMG]
    Les dix colonnes de droite représentent les nombres 1234567890
    Description :
    Un soroban japonais.
    Date : 27 août 2003
    Source : Travail personnel
    Auteur : Kowloonese
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    Caractéristiques

    Par rapport au boulier chinois, il ne comporte que le minimum de boules requises pour effectuer les opérations sur le boulier, c'est-à-dire une seule quinaire (en haut du boulier) et 4 unaires (en bas). En général un soroban a au moins une quinzaine de colonnes, mais cela peut aller jusqu'à 21, 23, 27 ou 31 colonnes.

    Un soroban avec le nombre 987654321
    [​IMG]
    Description : un soroban (boulier japonais) avec le nombre 987654321
    Date : 25 janvier 2009
    Source : Travail personnel
    Auteur : Solsticedhiver
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    On peut y effectuer toutes les opérations de base de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, division), et même pour les experts, des extractions de racine, calcul en binaire, octal, hexadécimal et autres.

    Il n'est pas nécessaire de connaître ses tables d'addition mais il faut connaître ses tables de multiplication pour effectuer des multiplications.

    Efficacité
    La technique permet d'automatiser les manipulations sur le soroban, et d'atteindre, avec de l'entrainement, des vitesses impressionnantes.

    Histoire

    - Introduction et évolution
    Le soroban vient du boulier chinois (suanpan). Il fut sans doute importé par l'intermédiaire de la Corée au XVe siècle.

    Vers 1850, le soroban, initialement composé, comme le suanpan, de 5 boules unaires (« terrestres ») et de 2 quinaires («célestes»), perdit une de ses boules quinaires. Les formes 5+2 et 5+1 continuèrent de cohabiter jusqu'au début de l'ère Meiji, où la seconde s'imposa définitivement.

    En 1891, Irie Garyū ôta une boule unaire, donnant au soroban sa forme actuelle. Réintroduite en 1930, cette configuration se généralisa dans les années 1940.

    Le 12 novembre 1946 fut organisé à Tokyo un concours de rapidité entre le soroban manipulé par Kiyoshi Matsuzaki et une calculatrice électronique utilisée par le soldat de l'armée américaine Nathan Wood, sélectionné pour sa maîtrise de l'outil. Les épreuves reposaient sur les quatre opérations élémentaires, ainsi qu'un problème qui les combinait toutes. Le soroban l'emporta par 4 à 1, ne perdant que sur la multiplication.

    - Comparaison avec le suanpan

    Le suanpan est composé de tringles de 5 boules unaires («terrestres») et de 2 quinaires («célestes»), qui permettaient de calculer non seulement en base 10, mais également en base 12 pour certaines unités de mesure (1 livre 斤 jin = 16 onces 兩 liang). Le soroban n'a retenu que la possibilité de calculer en base 10, ce qui permet de faire l'économie d'une boule unaire et d'une boule quinaire. Il s'apparente ainsi à l'abaque romain portatif.

    Le calcul est en moyenne plus rapide, car l'utilisateur est contraint à l'emploi des raccourcis que le débutant peut choisir d'éviter sur un suanpan. Par exemple, si le boulier contient le nombre 2 et que l'on veuille lui ajouter 3, le suanpan offre la possibilité d'afficher 5 unaires, avant de procéder à la réduction en remplaçant les cinq unaires par un quinaire. Le soroban ne le permet pas : il impose à l'utilisateur de passer directement à la forme réduite. Le débutant en soroban a donc moins de gestes «inutiles» à accomplir que le débutant en suanpan ; quant aux experts de l'une et l'autre sorte, ils utilisent généralement les mêmes méthodes, si bien que leur rapidité est comparable.

    Le soroban est en général moins haut que le suanpan ; non seulement parce qu'il contient moins de boules, mais également parce qu'elles sont plus resserrées : l'espace entre les boules actives et les boules inactives est réduit au minimum nécessaire à leur lisibilité.

    Les boules elles-mêmes ont la forme d'un double cône, plutôt que de «pneus». Cela permet une manipulation légèrement plus rapide, car le doigt s'insère plus facilement dans l'espace entre deux boules.

    Le soroban est également plus long que le suanpan : il comporte souvent 23 colonnes au lieu de 13. Cela ne permet pas seulement de calculer sur des nombres plus grands, mais surtout de travailler en parallèle sur plusieurs nombres, notés à différents endroits du boulier.

    - Utilisation actuelle
    Contrairement au suanpan (boulier chinois) et au stchoty (boulier russe) qui semblent tombés en désuétude dans leurs pays respectifs, le boulier japonais est toujours utilisé par de nombreuses personnes au Japon. Les compétences sont notées sur une échelle allant du 10e kyu au 10e dan. La Chambre japonaise de commerce et d'industrie fait passer un examen sur six niveaux, dont le troisième permet déjà de travailler dans l'administration.

    Le soroban est enseigné à l'école primaire au moyen de comptines. Il permet aux élèves de visualiser facilement le calcul en base 10. Cette visualisation permet d'effectuer du calcul mental selon la technique appelée anzan (暗算, «calcul aveugle»), éventuellement en effectuant dans l'air des mouvements de la main imitant la manipulation d'un boulier.
    Certains bouliers sont fabriqués spécialement pour les aveugles.

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    Catégories de Soroban

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    Sangaku

    Les Sangaku ou San Gaku (算額 ; littéralement tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales.

    Exemple de Sangaku
    [​IMG]
    Des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne
    gravées sur des tablettes de bois

    Description : sangaku board
    Date : 22 février 2010
    Source : Travail personnel
    Auteur : Rovnet
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    Historique
    Pendant la période Edo, le Japon était complètement isolé du reste du monde, si bien que les tablettes furent créées en utilisant les mathématiques japonaises (wasan), sans influence de la pensée mathématique occidentale. Par exemple la connexion fondamentale entre une intégrale et sa dérivée était inconnue, de sorte que les problèmes des Sangaku sur les aires et les volumes étaient résolus par l'expansion de séries infinies et le calcul terme par terme. Ce fut une période d’intense création culturelle, au sens large, avec l’apparition d'autres formes d’art profondément originales : le théâtre Kabuki, le Bunraku (théâtre de marionnettes), l’Ukiyo-e (estampes). Les Japonais tirèrent profit des héritages culturels chinois ramenés du continent. Certains ouvrages de mathématiques leur furent d'abord incompréhensibles et furent ensuite lentement assimilés.

    Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois suspendues à l'entrée de temples et d'autels shintoïstes (Jinja) en offrande aux divinités locales. Selon certaines sources, il s'agissait de montrer le talent d'un maître mathématicien à la vue du plus grand nombre.

    Beaucoup de ces tablettes ont été perdues après la période de modernisation qui succéda à la période Edo, mais environ 900 ont pu être conservées. Les Sangaku furent publiées pour la première fois en 1989 par Hidetoshi Fukagawa, un professeur de mathématiques de lycée et par Daniel Pedoe dans un livre intitulé Japanese Temple Geometry Problems.

    Types de problèmes
    Les tablettes sangaku présentent souvent des figures simples où l'esthétique des formes est déterminante dans le choix des problèmes. On y retrouve particulièrement des polygones et des polyèdres simples ou réguliers, des cercles, des ellipses, des sphères et des ellipsoïdes. Le paraboloïde et les différentes coniques y font leur apparition aussi. Le cylindre intervient surtout pour créer l'ellipse par intersection avec le plan. Les transformations affines sont utilisées pour passer du cercle à l'ellipse. Des problèmes concernent par exemple plusieurs cercles mutuellement tangents ou plusieurs cercles tangents avec une ellipse.

    Un des beaux problèmes, celui trouvé sur une tablette de la Préfecture de Tokyo en 1788 et qui fit la couverture du Scientific American, met en jeu le disque ou le cercle des entiers, où, dans un cercle de rayon 1, on coince deux disques de rayon 1/2 (ou de courbure 2, la courbure étant l'inverse du rayon), les interstices étant comblés de disques de courbure 3, créant ainsi d'autres interstices, qui seront à leur tour remplis par de plus petits disques de courbures entières (6, 11, 27, etc.) Cette construction remarquable, qui fait intervenir une infinité de quadruplets de cercles mutuellement tangents (satisfaisant donc le théorème de Descartes), ne contient que des cercles aux courbures entières. Le problème demandait simplement quel était le rayon d'un cercle d'une des séries interstitielles.


    ________________________________
    Nom de la page : Sangaku
    Contenu soumis à la licence CC-BY-SA 3.0.
    Source : Article Sangaku de Wikipédia en français (auteurs)
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    Mathématiciens notables


    • Kambei Mori (début du XVIIe siècle)
    • Yoshida Mitsuyoshi (1598–1672)
    • Seki Takakazu (1642–1708)
    • Takebe Kenko (1664–1739)
    • Matsunaga Ryohitsu (fl. 1718-1749)
    • Kurushima Kinai (d. 1757)
    • Arima Raido (1714–1783)
    • Ajima Naonobu (1739–1783)
    • Aida Yasuaki (1747–1817)
    • Sakabe Kohan (1759–1824)
    • Hasegawa Ken (c. 1783-1838)
    • Wada Nei (1787–1840)
    • Shiraishi Chochu (1796–1862)
    • Koide Shuki (1797–1865)
    • Omura Isshu (1824–1871)


     
  18. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
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    ... suite Japon




    Théorème japonais


    En géométrie, le théorème japonais dit que quelle que soit la manière dont on triangule un polygone inscriptible, la somme des rayons des cercles inscrits dans ces triangles est constante.


    Théorème 1

    [​IMG]

    Théorème 2

    [​IMG]
    Somme des rayons des cercles verts = somme des rayons des cercles rouges
    Description : Illustration of the Japanese Theorem 1 et 2
    Date : 2 octobre 2007 à 23:56
    Source : Travail personnel
    Auteur : Kmhkmh
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    Propriétés mathématiques
    Réciproquement, si la somme des rayons des cercles inscrits est constante quelle que soit la triangulation, alors le polygone est inscriptible. Le théorème japonais découle du théorème de Carnot.

    Ce théorème est aussi une généralisation du théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles. Ce théorème montre que les centres des cercles inscrits dans les triangles issus des deux triangulations possibles d'un quadrilatère inscriptible forment un rectangle.

    Le cas des quadrilatères suffit à prouver le cas général. En effet, en triangulant un polygone inscriptible, on crée plusieurs quadrilatères inscriptibles, et après application du théorème concernant les quadrilatères, chaque "changement de diagonale" créera une autre possibilité de triangulation. On peut ainsi créer toutes les triangulations possibles tout en conservant la somme des rayons des cercles inscrits dans tous les triangles formés et a fortiori dans le polygone tout entier. D'où le théorème pour les polygones inscriptibles qui peut être considéré comme un corollaire du théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles.

    Histoire
    Le nom de théorème japonais fait référence aux sangakus, ces figures géométriques illustrant une propriété mathématique et accrochées dans les temples japonais. D'après le professeur Yoshida de l'université de Kyoto, ce théorème est d'origine chinoise et porte, au Japon, le nom de théorème chinois. C'est le japonais Ryokan Maruyama qui en fait un Sangaku vers 1800. C'est ainsi que le théorème porte aussi le nom de théorème de Maruyama. Mais d'après le professeur Sato Naonobu de l'université d'Akita, il existe une preuve de ce théorème antérieure à 1800, œuvre du samouraï Shinpei Ito. Ce théorème est popularisé en Occident par Roger A. Johnson qui le nomme en 1929 théorème d'origine orientale, puis est nommé théorème japonais vers 1993.


    Nom de la page :
    Théorème japonais
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    Source : Article Théorème japonais de Wikipédia en français (auteurs)
    Cet article est partiellement ou en totalité
    issu de l’article de Wikipédia en anglais
    intitulé «Japanese theorem for cyclic polygons» (voir la liste des auteurs)

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    VOIR AUSSI :


    Preuve illustrée du théorème

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    Théorème japonais de Carnot


    Le théorème japonais de Carnot est un théorème de géométrie euclidienne dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, portant sur une égalité algébrique de distances dans une construction faisant appel au cercle inscrit et au cercle circonscrit à un triangle.

    Histoire
    En 1800, un samouraï anonyme accrochait au mur d'un temple une tablette de bois sur laquelle était gravé un sangaku, problème de géométrie dédié à une divinité (un kami) et proposé à la sagacité des fidèles. En 1803, Carnot publiait sa Géométrie de position. Hasard de l'Histoire, un théorème de cet ouvrage permet de résoudre élégamment le sangaku précité.

    Énoncé
    Théorème de Carnot.Soit un triangle [​IMG] et son cercle circonscrit de centre [​IMG] et de rayon [​IMG] . La somme des distances «signées» du centre [​IMG] aux côtés du triangle est donnée par :

    [​IMG]


    [​IMG] est le rayon du cercle inscrit au triangle et [​IMG], [​IMG], [​IMG] les projetés orthogonaux de [​IMG] respectivement sur les côtés [​IMG], [​IMG] et [​IMG].



    Triangle acutangle : Carnot theorem1
    [​IMG]
    Description : llustration of carnot's theorem
    Date : 2 février 2011 à 15:24
    Source : Travail personnel
    Auteur : Kmhkmh
    Ce fichier est disponible selon les termes de la
    licence Creative Commons Paternité 3.0 (non transposée)
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    Triangle obtusangle - Carnot theorem2
    [​IMG]
    Description : illustration of carnot's theorem
    Date : 2 février 2011 à 15:25
    Source : Travail personnel
    Auteur : Kmhkmh
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    Nom de la page :
    Théorème japonais de Carnot
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    Source : Article Théorème japonais de Carnot de Wikipédia en français (auteurs)
    Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé
    «Théorème de Carnot» (voir la liste des auteurs).
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    VOIR AUSSI/

    Boulier
    Abaque
    Suanpan
    Stchoty
    Anzan
    théorème de Descartes




    A SUIVRE...
     
  19. Goa2013

    Goa2013 Accro

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    titegazelle

    Excellente recherche, j'aime les math :)
    Pourriez vous nous en parler dans son aspect philosophique, j'ai lu un article a propos des grandes écoles qui ont des idéologies mathématiques qui se diffèrent, surtt pour l'ensemble N (entier naturel).
     
    titegazelle aime ça.
  20. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Ok, je vais faire une recherche pour avoir le sujet complet.
    Merci pour ton commentaire :)
     

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