Mathématiques

Discussion dans 'Bibliothèque Wladbladi' créé par titegazelle, 29 Novembre 2012.

  1. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    MATHÉMATIQUES
    Les mathématiques sont-elles nécessaires ?
    Pourquoi et comment peut-on dire qu'une proposition mathématique est vraie ?
    Quelle est la nature d'une démonstration ?
    Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ?
    Quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde réel ?
    Quels sont les liens avec les autres sciences ?


    Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Namet inventa les maths au 31e siècle av J-C et est vivante depuis malgré la disparition des dinosaures.

    Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif.

    Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugène Wigner parle de «la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature».

    Étymologie

    Le mot «mathématique» vient du grec, par l'intermédiaire du latin. Le mot μάθημα (máthēma) signifie «science, connaissance» puis «mathématiques» ; il a donné naissance à l'adjectif μαθηματικός (mathematikos), d'abord «relatif au savoir» puis «qui concerne les sciences mathématiques». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans les langues romanes par la suite («mathématique» en français, matematica en italien, etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues.

    La forme neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français et dans certaines autres langues européennes. Le singulier («la mathématique») est parfois employé en français, mais «le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme». Toutefois, certains auteurs, à la suite de Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine : Jean Dieudonné semble être le premier à avoir lancé ce mot d'ordre ; le vaste traité de Bourbaki s'intitule Éléments de mathématique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre Éléments d'histoire des mathématiques.
    Dans l'argot scolaire, le terme «mathématiques» est fréquemment apocopé en «maths».

    Histoire

    Il est fort probable que l'homme ait développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Les premiers objets reconnus attestant de compétences calculatoires sont les bâtons de comptage, tels que l'os d'Ishango (en Afrique) datant de 20 000 ans avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.

    Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels… Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadiennes, babyloniennes, égyptiennes, chinoises ou encore de la vallée de l'Indus.

    Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Deux branches se distinguent, l'arithmétique et la géométrie. Au IIIe siècle av. J.-C., les Éléments d'Euclide résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce.

    La civilisation islamique a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière de représentation des nombres. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées.

    Durant la Renaissance du XIIe siècle, une partie des textes grecs et arabes sont étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Au XVIe siècle se développe avec notamment Pierre de la Ramée l'idée qu'il existe une science universelle (mathesis universalis) sur laquelle il est possible de fonder l'ensemble des connaissances. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal.

    Au XVIIe siècle, Galilée se rend compte que les mathématiques sont l'outil idéal pour décrire le monde physique, ce qu'on peut résumer en disant que les lois de la Nature sont écrites en langage mathématique. Les mathématiques constituent donc, avec la démarche expérimentale, l'un des deux piliers du développement de la Science moderne.

    Au cours du XVIIIe siècle et du XIXe siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupes issus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits par Dedekind.

    Le XIXe siècle voit avec Cantor, Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira plusieurs mathématiciens du XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage, la logique mathématique.

    Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la modélisation et à la numérisation.

    [​IMG]
    Une page du traité de Al-Khawarizmi
    Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala
    Cette image est dans le domaine public car son copyright a expiré.
    Ceci est valable dans les pays où le copyright a une durée de vie de 100 ans
    ou moins après la mort de l'auteur.
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    Domaines

    Un découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que formulée de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

    - Domaines fondamentaux
    L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, de la théorie de Galois ou encore de la géométrie algébrique.

    En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

    La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

    Les probabilités tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques.


    - Exemples de domaines transversaux
    De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :
    Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…)
    La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
    La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche en 2009 en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
    En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométriques, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
    La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
    La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIXe siècle, avec notamment le théorème de Bézout. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.
    La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.


    - Mathématiques appliquées et pures

    On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :

    Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt a priori pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.
    Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique…), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

    En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur, «La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une».

    Mathématiques appliquées

    Les mathématiques appliquées sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'application du savoir mathématique aux autres domaines. L'analyse numérique, les mathématiques de l'ingénierie ; l'optimisation linéaire, la programmation dynamique, l'optimisation et la recherche opérationnelle ; les bio-mathématiques, la bio-informatique, la théorie de l'information, la théorie des jeux ; les probabilités et les statistiques ; les mathématiques financières et l'actuariat ; la cryptographie et, jusqu'à un certain point, la combinatoire et la géométrie finie ; la théorie des graphes telle qu'appliquée à l'analyse de réseaux, ainsi qu'une bonne partie de ce qu'on appelle l'informatique sont autant de domaines d'application des mathématiques.

    La classification logique des mathématiques appliquées repose davantage sur la sociologie des professionnels qui se servent des mathématiques que sur la question d'en déterminer la nature exacte. Habituellement, les méthodes mathématiques sont appliquées au domaine d'un problème particulier à l'aide d'un modèle mathématique.
    Les mathématiques de l'ingénierie s'attachent à décrire des processus physiques, de sorte qu'elles se distinguent rarement de la physique théorique. Parmi les principales subdivisions de celles-ci, on peut mentionner :
    la mécanique des fluides ;
    l'acoustique ;
    les équations de Maxwell, lesquelles régissent l'électromagnétisme ;
    la mécanique ;
    les phénomènes d'échanges.


    Pour rassurer les puristes, signalons que le calcul numérique, dont l'intérêt pratique est si essentiel, est souvent l'origine et l'occasion de travaux théoriques fondamentaux. Théorie et pratique s'étayent ainsi l'une l'autre, comprenons que les mathématiques étant nées outils, cultivées en outils par des hommes éminents, ce ne serait pas les mépriser que de les faire servir à quelque chose.

    Exemples d'applications industrielles
    Électronique : la théorie des graphes sert à modéliser les circuits intégrés constitués de millions de transistors nanométriques interconnectés dans un même bloc dans le but de réaliser une fonction donnée. Certains blocs réalisent ainsi la fonction de mémoire, d'autres celle d’unité arithmétique et logique, alors que d'autres sont des unités de contrôle.

    Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nés à la frontière avec d'autres sciences.

    Mathématiques pures

    Les mathématiques pures (ou mathématiques fondamentales) regroupent les activités de recherche en mathématiques motivée par des raisons autres que celles de l'application pratique. À partir du XVIIIe siècle, les mathématiques pures deviennent une branche reconnue de l'activité mathématique, parfois dites « mathématiques spéculatives ». Les mathématiques pures reposent sur le fait que l'on peut se baser sur une définition mathématique quelconque, c'est-à-dire qu'il est possible de raisonner sur un ensemble d'axiomes et sur un système logique de notre convenance. Donc on peut tenter de définir des systèmes mathématiques plus ou moins détachés de l'expérience et du réel, qui n'auront par conséquent pas pour but direct d'applications pratiques. Cela dit, il n'est pas rare que des théories développées sans avoir pour objectif une utilité pratique, soient réutilisées plusieurs années plus tard pour certaines applications, après avoir découvert le lien avec celles-ci.


    Dans le cas des mathématiques pures, la recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique.

    L'origine du nom est due à la chaire sadleirienne de l'université de Cambridge.
     
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    Pratique


    Activité de recherche
    - Recherche mathématique
    La recherche mathématique est une branche de la recherche scientifique.
    La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (par exemple, ce pourrait être la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines… Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.


    Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser le difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.


    Domaines de recherche

    1. Algèbre
    2. Analyse
    - Analyse numérique
    3. Topologie
    - Topologie algébrique
    4. Géométrie
    - Géométrie complexe
    - Géométrie riemannienne
    - Géométrie symplectique
    5. Probabilités
    - Milieu aléatoire
    - Variable aléatoire

    Centres internationaux de recherche
    • African Institute for Mathematical Sciences
    • Clay Mathematics Institute
    • The Geometry center
    • Institut des hautes études scientifiques
    • Institute for advanced research
    • Isaac Newton Institute
    • Max Planck institute for Mathematics in the Sciences
    • Reasearch Institute for Mathematical Sciences
    • Santa Fe Institute



    Langage
    - Langage mathématique
    Le langage mathématique est une expression couramment employée par les mathématiciens pour désigner l'ensemble des termes propres aux mathématiques.
    Par cette expression, on insiste volontiers sur l'évolution des mathématiques. Une langue ne reste jamais figée, elle évolue suivant les générations, les époques, les lieux. Il en va de même des mathématiques.


    Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie, itération… Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non mathématiciens.

    Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Elles comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication [​IMG] ou le connecteur unaire de négation [​IMG], d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel [​IMG] ou le quantificateur existentiel [​IMG].
    La plupart des notations utilisées au XXIe siècle ont été introduites après le XVIIe siècle seulement.

    Il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage : il s'agit de la logique mathématique.

    Le langage mathématique est une expression couramment employée par les mathématiciens pour désigner l'ensemble des termes propres aux mathématiques.

    Pour nombre de mathématiciens actuels, dont Alain Connes, les mathématiques sont un langage permettant de simplifier l'expression et la manipulation de concepts. Toutefois, cette traduction se modifie au cours des siècles. Y compris à une même époque, une même conception peut être traduite par différents outils, de formulation radicalement différente.
    - Langue d'expression
    Les mathématiciens ont pour habitude d'énoncer des propositions, parfois appelées théorèmes, lemmes ou corollaires suivant le contexte. Ces propositions s'énoncent traditionnellement dans le langage commun, avec l'emploi récurrent de termes techniques préalablement définis. Le langage commun est contextuel et dépend des époques et du choix de l'auteur. Les mathématiques peuvent être écrites ou transcrites dans toutes les langues officielles. Les ouvrages de mathématiques japonais ont pour usage d'employer les termes anglais pour les termes mathématiques techniques.

    Aujourd'hui, la langue majoritairement utilisée dans les publications scientifiques est l'anglais. Elle fut le grec à l'apogée des mathématiques grecques, l'arabe du temps des mathématiques arabes, le latin à la Renaissance européenne, l'allemand au XIXe siècle. L'enseignement primaire et secondaire utilise la notation européenne dans de nombreux pays (y compris la Russie), mais certains pays ont toutefois fait le choix de conserver leur notation locale (notamment les pays du Golfe Persique), cette notation étant abandonnée dans le supérieur.
    - Symboles mathématiques
    Outre les termes techniques, les mathématiques emploient un ensemble de symboles pour désigner les objets mathématiques. L'introduction de cet ensemble de symboles a été initiée d'après Peano. Le choix de ces symboles est rarement arbitraire et présente des raisons historiques ou étymologiques. Leurs natures sont très différentes.
    -- Lettres
    Une lettre majuscule ou minuscule de l'alphabet latin ou grec peut être utilisée pour désigner un objet simple. Par exemple, x, y et z désignent des variables réelles ou complexes standards. Le z est plus couramment utilisé en analyse complexe. En géométrie a, b et c sont utilisés pour des longueurs de segments, alors que les lettres grecques correspondantes [​IMG], ,[​IMG] et [​IMG] sont employées pour désigner des mesures d'angles en radian ou en degré.

    Les majuscules grecques [​IMG] et [​IMG] s'utilisent pour des sommes et des produits dont le nombre de termes est variable, ou trop grand. Ces symboles s'emploient pour la somme et le produit de séries ou de produits infinis, lorsque l'écriture fait sens.
    -- Signes de ponctuation
    Les signes les plus communs de ponctuation prennent un sens particulier au sein d'une formule mathématique :
    • Le point peut être utilisé pour désigner une loi de groupe. Toutefois, nombre de mathématiciens préfèrent l'absence de symboles dans un produit. Le point est aussi utilisé pour la dérivée en mécanique.
    • Les parenthèses sont utilisées pour le regroupement des termes d'un produit ou d'une somme. Les crochets <,> ou (,) ou [,] ou <|>, ... sont utilisés pour les produits scalaires. Les crochets [,] sont employés pour désigner le commutateur de deux éléments en algèbre ou les crochets de Lie dans la théorie des groupes de Lie.
    • Le prime est utilisé en analyse pour la dérivée. Il est aussi utilisé plus généralement pour augmenter le nombre de variables disponibles (x, x', ...). Il peut aussi désigner le groupe dérivé.

    -- Flèches
    L'emploi des flèches est particulièrement apprécié en mathématiques :
    • Les flèches sont utilisées pour désigner des applications. Parfois, le mot flèche est employé comme synonyme d'application.
    • Les flèches sont aussi employées pour désigner des vecteurs.

    -- Symboles géométriques
    Un grand nombre de symboles géométriques a été introduit en mathématiques :
    Le cercle est utilise en algèbre linéaire pour symboliser une somme directe de sous-espaces vectoriels.
    Le triangle équilatéral est utilise en analyse pour désigner le laplacien. Retourné, il désigne le vecteur gradient. Par extension, on l'emploie pour noter les connexions de Koszul.
    Le carré est parfois utilisé dans les produits au sens de la théorie des catégories.
    La croix est le symbole couramment utilisé pour désigner le produit cartésien de deux ensembles ou le produit vectoriel de deux vecteurs d'un espace euclidien de dimension 3. Accessoirement, on l'emploie parfois dans les produits en remplacement du point.
    Le symbole intégral est particulier.

    - Présentation des résultats
    Les résultats mathématiques sont publiés dans des articles de recherche soumis à l'examen d'un comité de relecture. Ces publications demandent à respecter un ensemble de codes typographiques contraignant le langage mathématique.


     
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    Rapport avec les autres sciences


    Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques…) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les modélisations.


    Toutes les sciences dites dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

    La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.
    - Physique
    Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :
    Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
    Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
    Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion de la chaleur dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier ; … Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson…

    Un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

    Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.
    - Informatique
    L'essor des techniques au XXe siècle a ouvert la voie à une nouvelle science, l'informatique. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie et théorie des codes.

    En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

    Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité, la théorie de l'information, la théorie des graphes… Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le célèbre P=NP en théorie de la complexité, qui fait partie des sept problèmes du prix du millénaire. Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra un montant de 1 000 000 USD.

    L'informatique est également devenue un outil essentiel à la découverte ou à la démonstration de certains théorèmes mathématiques. L'exemple le plus célèbre est celui du Théorème des quatre couleurs, démontré en 1976 à l'aide d'un ordinateur, car certains des calculs nécessaires sont trop complexes pour être réalisés à la main. Cette évolution bouleverse les mathématiques traditionnelles, où la règle était que le mathématicien puisse vérifier de lui-même chaque partie de la démonstration. En 1998, la Conjecture de Kepler semble avoir également été démontrée par ordinateur, et une équipe internationale travaille depuis sur la rédaction d'une preuve formelle.

    En effet, si la preuve est rédigée de façon formelle, il devient alors possible de la vérifier à l'aide d'un logiciel particulier, appelé assistant de preuve. C'est la meilleure technique connue pour être (presque) certain qu'une démonstration assistée par ordinateur ne souffre d'aucun bug. En l'espace d'une trentaine d'années, le rapport entre les mathématiciens et l'informatique s'est donc complètement renversé : d'abord instrument suspect à éviter si possible dans l'activité mathématique, l'ordinateur est devenu au contraire un outil incontournable.
    - Biologie, chimie et géologie
    La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le principe de Hardy-Weinberg, souvent évoquée en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la biomathématique.

    Depuis le début du XXIe siècle, la chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

    Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie et la planétologie sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.
    - Mathématiques et sciences humaines
    Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance (sociologie, psychologie, économie, finance, gestion, linguistique…).

    Notamment, les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

    Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse «littéraire». Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

    On assiste également au début du XXe siècle, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait Nikolaï Kondratiev qui discerne un cycle de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en économie politique, ou Nicolas-Remi Brück et Charles Henri Lagrange qui, dès la fin du XIXe siècle, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la géopolitique en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitudes qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin.

    Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Sokal et Bricmont dénoncent la relation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.
    - Mathématiques, astrologie, ésotérisme
    Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'astrologie. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer Ptolémée, les astronomes de langue arabe, Regiomontanus, Cardan, Kepler, ou encore John Dee. Au Moyen-Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi Theodor Zwingler signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du «mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps» et réserve aux mathématiques le soin de «calculer avec probabililté les influences [des astres]» en prévoyant leur «conjonctions et oppositions». Les théories astrologiques occidentales contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

    Les mathématiques sont aussi une composante de l'ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une tretraktys.

    [​IMG]
    La Tétraktys
    Description : The Tetractys is a triangular figure consisting
    of ten points arranged in four rows: one, two, three, and four points in each row.
    As a mystical symbol devised by Pythagoras it was very important to the Pythagoreans.
    Date : 20 août 2006
    Source : Hemenway, Priya – Divine Proportion pp.63, Sterling Publishing, ISBN 1-4027-3522-7
    User : Jossifresco
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    dans n'importe quel but, sans aucune condition,
    sauf celles requises par la loi.

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    De même Platon ne se contente pas d'énumérer les solides qui portent son nom il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers). L'arithmosophie, la numérologie, la gématrie, l'arithmancie tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un pentacle ou un nombre d'or.




     
  4. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Fondements


    Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

    D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science. l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (La structure des révolutions scientifiques de Thomas Samuel Kuhn). L'avènement de l'informatique a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes.


    Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXe siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevski ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes.

    D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les théorèmes d'incomplétude, démontrés par Kurt Gödel dans la première moitié du XXe siècle, montrent que, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert, il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées «vraies» resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.



    Fondements des mathématiques

    La fondation, ou les fondements, des mathématiques sont les principes sur lesquels est établie cette science.


    Les points de vue sur la nature des mathématiques
    - Le logicisme
    Le logicisme a été prôné notamment par Gottlob Frege et Bertrand Russell. La mathématique pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours –la considération des particuliers existants est exclue - et la déductibilité du discours mathématique –- les inférences qui structurent le discours mathématique sont des implications formelles (elles affirment non pas les propositions elles-mêmes, mais la nécessité de leur connexion) --. En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les mathématiques à la logique, les lois logiques étant les lois du «vrai». Par exemple, la définition logique du nombre, loin d’être réduite à l’opération concrète de dénombrement d’objets, consiste en la référence à l’égalité numérique de deux classes (deux classes ont le même nombre s’il est possible d’instaurer entre leurs éléments respectifs une relation bijective). Le logicisme a rencontré néanmoins, à ses débuts, de réelles difficultés en tant qu’il s'engage ontologiquement par rapport aux classes. La théorie des classes avait conduit à des paradoxes logiques maintenant résolus mais qui avaient mis au jour la nécessité de clarifier les axiomes.
    - Le formalisme
    Le formalisme soutenu par David Hilbert : les mathématiques se présentent comme une pure construction de l’esprit. La tâche des mathématiciens est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes qui ne sont ni vrais ni faux. La validité ne repose plus que sur la structure des énoncés, et non sur la nature de ce dont ils parlent. La vérité des mathématiques est réduite à leur cohérence interne, la non contradiction des propositions. Le débat sur cette conception formaliste a été relancé par le théorème d'incomplétude de Gödel qui affirme que tout système formel cohérent et récursif contenant l'arithmétique, possède une proposition qui n’est ni démontrable, ni réfutable ; de plus, cette proposition est cependant «vraie» au sens intuitif du terme : elle formalise en effet l'affirmation selon laquelle la théorie est cohérente, ce qu'on a supposé dés le départ.
    - L'intuitionnisme
    L’intuitionnisme défendu de manière paradigmatique par Brouwer : les mathématiques ont un fondement intuitif. Sans l’intuition, la logique s’avère stérile. Défendre une conception intuitionniste a des conséquences importantes. Ainsi, selon la logique intuitionniste, on ne peut pas éliminer la double négation (ce que fait la logique classique) : «non non p» ne se réduit pas à «p». Il s’ensuit que «non p ou p» n'est pas un théorème. Ces refus sont justifiés par le fait qu'en logique intuitionniste «q implique r» signifie que «d'une démonstration de q je peux construire une démonstration de r», or l'affirmation «non non p implique p» ne permet pas de construire une démonstration de p à partir d'une démonstration de «non non p». Brouwer concevait l'intuitionnisme comme un positionnement philosophique sur les mathématiques et a accueilli avec scepticisme sa formalisation donnée ultérieurement par Arend Heyting.


    Les fondements de la géométrie

    L’œuvre de Hilbert est très représentative de la crise des fondements qui s’est produite en mathématiques pendant le XIXe et au début du XXe siècle.

    Hilbert, comme d’autres logiciens et mathématiciens de son temps, s’est rendu compte que la géométrie euclidienne était incomplète, pas au sens où l’axiome des parallèles n’y est pas déductible, mais parce que tous les géomètres depuis Euclide se servent dans leurs preuves d’axiomes qui n’avaient jamais été explicités. À la suite des travaux de Pasch, Hilbert a donné une formulation presque complète de la géométrie euclidienne, dans son livre Les Fondements de la géométrie, pour laquelle aucun axiome géométrique n’était laissé dans l’ombre.

    Ce programme de fondation de la géométrie n’était cependant pas achevé pour deux raisons. D’une part, les règles de raisonnement admises étaient encore laissées dans l’ombre. D’autre part, un des axiomes de la géométrie, relatif à la continuité de l’espace, posait des problèmes d’interprétation associés à ceux de la définition des nombres réels et de la théorie des ensembles de Cantor.


    Les fondements de l’analyse et la théorie des ensembles

    L’analyse, que l’on peut aussi appeler calcul infinitésimal, ou calcul différentiel et intégral, repose maintenant sur la définition de l’ensemble des nombres réels. Depuis les découvertes de Newton et Leibniz, il avait fallu sortir du cadre des Éléments d'Euclide.

    Les mathématiciens du XIXe siècle, notamment Cauchy et Weierstrass, pour l'analyse proprement dite, puis Dedekind et Cantor ont donné une formulation précise de principes qui permettent de raisonner avec rigueur et exactitude sur les nombres réels. Ceux-ci sont définis par Dedekind comme des ensembles de nombres rationnels. Peano a donné des axiomes et des méthodes formelles pour développer d’une façon logiquement rigoureuse l’arithmétique et celle-ci suffit pour fonder la théorie des nombres rationnels.

    La théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas vraiment formalisée, semblait cependant le cadre idéal, paradisiaque selon l’expression de Hilbert, pour fonder l’analyse et plus généralement les mathématiques. Frege, de son côté avait donné des règles formelles précises et explicites pour une théorie logique qui devait permettre de fonder les mathématiques. On pouvait espérer une base solide.

    Mais cette base n'a pas tardé à montrer ses faiblesses. La découverte du paradoxe de Burali-Forti (l'ensemble de tous les ordinaux est bien ordonné, ce bon ordre est supérieur à tous les ordinaux, donc à son propre ordinal), puis celle du paradoxe de Russell, proche sur le principe mais nettement plus simple (l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-mêmes est un ensemble, il ne peut ni s'appartenir, ni ne pas s'appartenir à lui-même), montrent l'incohérence de ces deux théories (Russell a donné son paradoxe initialement pour la théorie de Frege).

    Des solutions pour éviter ces paradoxes furent rapidement trouvées. L'une, initiée par Russell, et développée dans les Principia Mathematica, stratifie les prédicats grâce à la notion de type : on ne peut plus écrire qu'un ensemble appartient à lui-même. L'autre, initiée par Zermelo, restreint la définition des ensembles par compréhension, c'est-à-dire par une propriété de ses éléments : la propriété de ne pas appartenir à soi-même ne définit plus un ensemble.

    Mais pouvait-on s'assurer que l'on ne puisse pas dériver de nouveaux paradoxes dans ces théories ?


    Le programme de Hilbert

    Pour répondre à la crise des fondements des mathématiques, Hilbert avait conçu un programme dont il établit les prémisses en 1900 dans l'introduction à sa célèbre liste de problèmes, le second problème étant justement celui de la cohérence de l'arithmétique. Il développe ce programme avec ses collaborateurs, parmi lesquels Bernays et Ackermann, essentiellement dans les années 1920. L'idée est grossièrement la suivante.

    Tant que l'on manipule le fini, les mathématiques sont sûres. L'arithmétique élémentaire (en un sens qui doit se préciser) est sûre. Pour justifier l'utilisation d'objets abstraits ou idéaux, en particulier infinis, il suffit de montrer que la théorie qui les utilise est cohérente, mais bien sûr cette cohérence doit elle-même être démontrée par des moyens finitaires. On peut alors affirmer l'existence de ces objets. C'est la position formaliste (à ne pas confondre avec le finitisme qui considère que seules les constructions directement finitaires ont un sens).

    Le système dans lequel on pourrait formaliser les mathématiques finitaires n'est pas clair. À l'époque, il semble que Hilbert pensait, sans l'avoir explicitement formalisé, à un système plus faible que l'arithmétique de Peano, l'arithmétique primitive récursive : toutes les définitions de fonctions récursives primitives sont dans le langage, la récurrence est restreinte aux formules sans quantificateurs (disons aux égalités pour faire simple), donc très immédiate. Peu importe en fait : le second théorème d'incomplétude de Gödel, montre que l'on ne pourra même pas prouver dans la théorie arithmétique en question sa propre cohérence, et donc certainement pas celle de théories plus fortes qui assureraient la fondation des mathématiques.

    Le programme de Hilbert n'est donc pas réalisable, en tout cas pas sans une révision drastique. Des logiciens comme Gentzen, et Gödel lui-même, ont pensé à rétablir ce programme en étendant la notion de méthodes finitaires, celles-ci ne pouvant cependant pas être définies une fois pour toutes par une théorie toujours à cause du second théorème d'incomplétude. Ainsi Gentzen a donnée en 1936 une preuve de cohérence de l'arithmétique de Peano dans un système forcément plus fort, où l'on raisonne par induction sur un ordre bien fondé (dénombrable mais plus grand que l'ordre des entiers), mais où l'induction est cependant restreinte à des formules sans quantificateurs, donc plus "immédiate". Si l'intérêt mathématique des méthodes mise en œuvre par Gentzen ne fait aucun doute, l'interprétation de ses preuves de cohérence, en tant que preuves "absolues" (ce sont bien sûr indubitablement des preuves de cohérence relative) reste très discutable.
    Il reste que, malgré son échec, le programme de Hilbert a joué un rôle décisif dans le développement de la logique mathématique moderne.



    La méthode formelle

    Il ne faudrait pas confondre formalisme, et méthode formelle... La méthode formelle est essentielle pour comprendre les mathématiques contemporaines…

    Définir une théorie formelle, c'est :
    • se donner des symboles (a, b, c, =, +, ≥, <, etc.) ;
    • se donner une syntaxe pour construire des «phrases».
    Par exemple on peut écrire a≥b mais pas a b ≥ ;

    • se donner une méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases.
    Par exemple, si on a a≥b et b≥c alors on a aussi la «phrase» a≥c.

    Définir une théorie de façon formelle est essentiel pour en donner des propriétés : cohérence ou incohérence, complétude ou incomplétude etc. Tant qu’on n'a pas formalisé une théorie, on ne sait pas exactement si une formule appartient ou non à la théorie.

    Les règles de déduction de la logique traditionnelle sont désormais complètement connues et formalisées au sein de la logique mathématique. Toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées avec ces règles et des axiomes convenablement choisis.

    C'est probablement dans cette catégorie que l'on doit classer les mathématiques à rebours d'Harvey Friedman.



    Les théories des ensembles

    Les mathématiques actuelles sont basées sur la notion d’ensemble. En fait, tout objet mathématique ou presque peut être défini comme un ensemble. Par exemple, «23» peut être défini comme un certain ensemble qui contient 23 éléments.
    De même, [​IMG] peut être construit à partir d'ensembles comme suit :



    • [​IMG]
    • [​IMG]

    Avec de telles définitions, ou d’autres semblables, toutes les connaissances mathématiques peuvent être prouvées à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Leurs axiomes peuvent être considérés comme les principaux fondements des mathématiques (avec les règles de déduction du calcul des prédicats au premier ordre).

    Plusieurs systèmes d’axiomes ont été proposés :
    • La théorie axiomatique des ensembles «standard» comporte neuf axiomes. Ces axiomes ont été énoncés par Zermelo (1908) et complétés dans les années 1920 par Fraenkel et Skolem. Ils sont dits de Zermelo-Fraenkel et comprennent l'axiome du choix, d'où le sigle ZFC souvent employé pour désigner cette théorie. L'œuvre de l'association Bourbaki a été développée dans ce cadre axiomatique.
    • La théorie des classes, de von Neumann, Gödel et Bernays (NGB). C’est une extension de ZFC qui lui est presque équivalente. Tous les théorèmes de ZFC sont des théorèmes de NGB. Inversement, tous les théorèmes de NGB qui ne mentionnent que les notions fondamentales de ZFC (c’est-à-dire les ensembles et non les classes) sont des théorèmes de ZFC. NGB convient mieux que ZFC pour formuler la théorie des catégories.
    • La théorie du zig-zag interdit de Quine. Elle n'est pas très utilisée mais pourrait l’être davantage. Elle montre en particulier qu’on peut développer une théorie des ensembles sans exclure l’ensemble de tous les ensembles.
    • D’autres théories, qui sont soit moins puissantes que les précédentes, parce qu’elles refusent les constructions ensemblistes trop audacieuses (théories constructivistes, intuitionnistes, finitaires, ...), soit plus puissantes parce qu’elles les complètent avec d’autres axiomes (axiome de constructibilité, axiomes des grands cardinaux, ...)
    Parmi les mathématiciens, certains se contentent des axiomes ZF, et refusent l'axiome du choix (C), car ils considèrent que certaines de ses implications sont contre-intuitives. Certains mathématiciens refusent même ZF et la logique classique qui en est la base, car ils considèrent que tout doit être construit explicitement; c'est la raison pour laquelle on les appelle constructivistes ou intuitionnistes.

    D'autres formalismes

    • La théorie des types de Whitehead et Russell, exposée principalement dans les Principia Mathematica. Son formalisme est lourd (des dizaines de pages pour prouver des propositions qui peuvent paraître évidentes) et ses principes imposent beaucoup d’interdits entre les divers types dans le souci de ne pas reproduire l'équivalent du paradoxe de Russell. Outre sa grande importance historique parce qu’elle est la première formulation axiomatique, rigoureuse et cohérente des principes généraux des mathématiques, elle a, grâce à l'informatique, repris de la vigueur à la fin du siècle précédent et au début de celui-ci et devient une discipline phare de la logique mathématique contemporaine.
    • La théorie des catégories : depuis les années 1960, certains auteurs, à la suite de Francis William Lawvere, défendent l'usage de la théorie des catégories en lieu et place de la théorie des ensembles
    .


    Crise des fondements

    En mathématiques, la crise des fondements, aiguë au tournant du XXe siècle, désigne la situation où des solutions concurrentes sont proposées pour asseoir la méthodologie des mathématiques sur une base rigoureuse.

    Historique

    Les mathématiques de l'époque fonctionnent très bien comme outil de représentation de la réalité. Par exemple, en physique, elle permet de calculer avec précision différents phénomènes.

    Il semble que la géométrie, telle qu'explicitée par Euclide, soit à l'abri d'une remise en question. En effet, les postulats et les axiomes qu'il a formulés dans ses Éléments forment un tout cohérent où chaque proposition est démontrée. Plusieurs mathématiciens tentent de déduire le cinquième postulat des quatre autres postulats. Gauss, Lobatchevski (1839) et Bolyai (1832), en rejetant ce postulat, créent des nouvelles géométries : les géométries non euclidiennes. Il n'est plus nécessaire que deux droites soient parallèles pour que la géométrie soit cohérente. Le cinquième postulat est seulement nécessaire pour la cohérence de la géométrie euclidienne.

    Au XIXe siècle, la théorie des groupes prend son essor. Il ne s'agit plus de nombres, mais d'objets qui marient à la fois des notions de fonctions et d'ensembles (qui ne sont pas formellement décrits à ce moment) pour en faire une abstraction algébrique. Les groupes ne généralisent pas la notion de nombre. Il y a donc un sentiment de fracture qui apparaît.

    Pendant la première moitié du XIXe siècle, la logique, héritée de la Grèce antique, est vue comme un outil philosophique. Boole (1847) jette les bases de son algèbre et De Morgan (1847) publie ses lois. La logique devient une branche à part entière des mathématiques. Il s'agit encore de notions qui ne généralisent pas celle de nombre.


    En 1879, Frege clarifie le raisonnement logique. Cette formalisation permet de dégager les trois caractéristiques qu' une théorie mathématique devrait avoir:
    1. cohérence : impossiblité de démontrer une proposition et son contraire
    2. complétude : pour tout énoncé, ou bien il est démontrable, ou bien son opposé est démontrable à l'intérieur de la théorie.
    3. décidabilité : il existe une procédure de décision permettant de tester tout énoncé de la théorie.
    Avec Georg Cantor, la théorie des ensembles met à l'avant-plan les ensembles infinis, objets aux propriétés particulières qui demandent une nouvelle approche.

    Description

    Vers la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle, plusieurs mathématiciens ont tenté de construire les mathématiques sur des bases solides : Frege, Ernst Zermelo, David Hilbert et Bertrand Russell, entre autres.
    David Hilbert (1899) rafraîchit la géométrie euclidienne, alors que les géométries non-euclidiennes sont explorées.

    Trois écoles se forment au début du XXe siècle pour tenter de formaliser la logique et la métamathématique :
    • logiciste : menée par Russell et Whitehead (à partir de 1903)
    • formaliste : menée par David Hilbert (1904-)
    • intuitionniste : menée par Brouwer (1907-)
    Russell et Whitehead, s'appuyant sur la logique et plusieurs axiomes, tentent de construire de façon cohérente les mathématiques. Leur travail, complexe et incomplet, culmine avec Principia Mathematica (1910-1913). L'école formaliste voit les mathématiques comme le résultat de définitions et d'axiomes qui permettent de les construire de façon quasi-mécanique. Finalement, l'école intuitionniste remet en cause certaines méthodes de la logique classique.

    Parmi les systèmes proposés, la théorie ZFC, chronologiquement une des premières, reste la plus prisée au XXIe siècle.

    Kurt Gödel avec ses théorèmes d'incomplétude (1931) a démontré que dès qu'une théorie est assez riche pour rendre compte de l'arithmétique, elle ne peut à la fois être complète, décidable et démontrablement consistante.


    Voir aussi /

    métamathématique


     
  5. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Enseignement


    L'enseignement des mathématiques désigne l'étude des méthodes et de la pratique des mathématiques. Cet enseignement a fait l'objet de nombreux débats dans les sociétés modernes.

    L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires de base que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, éducation classique…). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles.


    Histoire

    Les mathématiques élémentaires font partie des programmes scolaires depuis les plus anciennes civilisations, dont la Grèce antique, l'Empire romain et l'Égypte ancienne. Dans la plupart des cas, l'enseignement était réservé aux hommes, avec une position sociale suffisamment élevée. Dans la division de Platon des arts en trivium et quadrivium, le quadrivium incluait les domaines mathématiques l'arithmétique et la géométrie. Cette division se retrouva dans l'éducation classique développée dans l'Europe médiévale. L'enseignement des mathématiques s'appuyait principalement sur les Éléments d'Euclide.

    Dans la Renaissance, le statut académique des mathématiques déclina car elles étaient généralement associées au commerce. Les mathématiques continuaient à être enseignées dans les universités européennes, mais étaient considérées comme une matière inférieure à la métaphysique, la philosophie, etc.

    Au XVIIIe siècle en Europe, les mathématiques sont enseignées plusieurs heures par jour dans les écoles militaires.

    À partir de la seconde moitié du XXe siècle, les mathématiques deviennent la première matière de sélection des études secondaires et pour l'entrée de beaucoup d'établissements prestigieux des études supérieures. Ainsi, les mathématiques permettraient une sélection rapide et peu onéreuse. Dès les années 1990, ce rôle central est critiqué : selon ses détracteurs, il établirait un élitisme artificiel et une inadéquation avec certaines formations professionnelles, comme pour la médecine et le commerce. En 2012, le professeur américain de sciences politiques Andrew Hacker lui attribue même la plus grande part de responsabilité des échecs scolaires du secondaire et la perte de nombreux talents et potentiels professionnels aux États-Unis.

    Objectifs

    Selon les époques, les lieux, et les cultures, l'éducation des mathématiques s'est vue fixer des objectifs différents, dont :
    • L'enseignement des bases du calcul ;
    • L'enseignement des mathématiques pratiques : l'arithmétique et la géométrie plane ;
    • L'enseignement des concepts mathématiques abstraits comme les ensembles et les fonctions, à partir d'un certain âge ;
    • L'enseignement de domaines spécifiques, comme la géométrie euclidienne, comme exemple d'un système axiomatique ;
    • Éventuellement, dans le cadre d'options, l'enseignement de sujets avancés pour les élèves trouvant dans les mathématiques leurs vocations ;
    • L'enseignement de la logique heuristique et autres stratégies pour résoudre des problèmes non-routiniers.
    Les méthodes de l'enseignement des mathématiques changent suivant les objectifs à atteindre.

    Normes

    Malgré tout, à toute époque, des normes d'enseignement des mathématiques ont été établies localement par des institutions ou des groupes d'enseignants, en fonction du niveau qu'il leur semblait approprié et réaliste d'attendre d'un élève.

    Aujourd'hui, dans les sociétés occidentales, ces normes sont discutées à l'échelle régionale ou nationale. Ces normes peuvent faire l'objet d'une publication officielle :
    • Le National Curriculum for England en Angleterre.
    • Les Principles and Standards for School Mathematics aux États-Unis.
    • Le B.O. (Bulletin officiel) en France.

    Contrôle des connaissances

    Le contrôle des connaissances en mathématiques s'appuie essentiellement classiquement sur :
    • Des exercices routiniers permettant à l'élève d'assimiler tout ou une partie du cours, des méthodes de raisonnement ou techniques standard de résolution ;
    •Des problèmes, essentiellement des exercices d'une longueur suffisante, éventuellement avec plusieurs parties.
    A un niveau supérieur, les problèmes désignent un ensemble de questions sur une thématique, visant par exemple à la démonstration et l'illustration d'un résultat qu'un élève n'est pas censé connaitre d'avance.

    Méthodes d'enseignement
    • L'éducation classique
    • Les mathématiques modernes
    • La méthode de Moore

    Instituteurs et professeurs de mathématiques

    Voici une liste de personnes ayant enseigné les mathématiques sans pour autant être connues pour ça :
    • Lewis Carroll, écrivain britannique, enseigna les mathématiques à Oxford.
    • John Dalton, physicien et chimiste britannique, enseigna dans des écoles et collèges à Oxford, York et Manchester.
    • Archie Williams, athlète américain, médaillé d'or sur 400m aux jeux olympiques de 1936, enseigna les mathématiques en Californie.


     
  6. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Mathématiques
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    Impact culturel


    Expression artistique

    Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par
    3⁄2.

    Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.


    [​IMG]

    Les harmoniques sur une portée.

    Date et heure : 2 avril 2006 à 11:09
    Utilisateur : Baba66
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    Creative Commons paternité – partage à l’identique 3.0 (non transposée)
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    Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes :

    • d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave) ;
    • d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

    Les Occidentaux associent une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.
    • Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le groupe cyclique à deux éléments, ℤ/2ℤ. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

    Fractale possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.
    [​IMG]

    Description :
    Ensemble de Julia (C = [0.285, 0.01]), une Fractale.
    Image réalisée à partir d'un programme rédigé par l'auteur,
    et nommé "Julia dream", d'après une mélodie de Pink Floyd.

    Date et heure : 17 avril 2005 à 13:43
    Source : Travail personnel
    Auteur : Solkoll
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    sans aucune condition, sauf celles requises par la loi.

    Cette image a été choisie comme image du jour le 7 septembre 2005
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    Vulgarisation

    La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons Oh, les maths de Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.

    La revue Tangente, l'aventure mathématique, est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.

    La revue Images des mathématiques, soutenue par le Centre national de la recherche scientifique (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre la recherche mathématique contemporaine et son environnement.

    La revue Accromαth est soutenue par l'Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques de Montréal. Elle s'adresse principalement aux élèves et enseignants d'école secondaire et de cégep et est distribuée gratuitement au Québec.


    Littérature et filmographie

    Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

    - Romans
    Plusieurs livres de Denis Guedj, dont :
    Le Théorème du Perroquet
    Zéro, ou les cinq vies d'Aémer
    Le Démon des maths de Hans Magnus Enzensberger
    Mathématique du crime de Guillermo Martinez
    Oncle Petros et la conjecture de Goldbach d'Apostolos Doxiadis
    Flatland, d'Edwin Abbott Abbott
    La Formule préférée du professeur, de Yoko Ogawa
    2 + 2 = 5
    - Films

    - Théâtre
    Pièces de théâtre :

    Spécialistes de théâtre de sciences

    • Le Théâtre scientifique de Louis Figuier, Fabienne Cardot, Revue Romantisme, 1989
    • Théâtre et sciences, Le double fondateur, Jacques Baillon, L'Harmattan, 1998
    • La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique, Ouriel Zohar, dans Théâtre et Science, éd. Pr Lucile Garbagnati, F. Montaclair et D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l'Université de Franche-Comté, Besançon, 1998.
    • Théâtre et matière, Les moteurs de représentation, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
    • Le Théâtre de sciences, Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
    • Science on stage, from Dr Faustus to Copenhagen, Kirsten Sheperd-Barr, Princeton University Press, 2006.
    • Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard, Liliane Campos, dans Epistémocritique, Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, vol. II, 2008
    • L'île logique, théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.
    - Séries télévisées

    • Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
    • Eureka, série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.
    • Stargate Universe, série télévisée créée par Brad Wright et Robert C. Cooper.


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    Nom de la page : Mathématiques

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    Source : Article Mathématiques de Wikipédia en français (auteurs)
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