Primitives - Mathématiques

Discussion dans 'Bibliothèque Wladbladi' créé par titegazelle, 19 Décembre 2012.

  1. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Mathématiques
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    Primitive

    En mathématiques, une primitive (ou, rarement, «antidérivée» – de l'anglais antiderivative) d'une fonction [​IMG]d'une variable réelle définie sur un intervalle [​IMG] est une fonction [​IMG] définie et dérivable sur [​IMG] dont la dérivée est [​IMG] , autrement dit telle que :

    [​IMG]

    Une condition suffisante pour qu'une fonction [​IMG] admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

    Si [​IMG] est une fonction admettant une primitive [​IMG] sur un intervalle [​IMG], alors pour tout réel [​IMG], une primitive de [​IMG] sur l'intervalle [​IMG] est [​IMG] .


    Si [​IMG] et [​IMG] sont des primitives respectives de deux fonctions [​IMG] et [​IMG], alors une primitive de [​IMG] est [​IMG].

    Si une fonction [​IMG] admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante (appelée souvent constante d'intégration) : si [​IMG] et [​IMG] sont deux primitives de [​IMG], , alors il existe un réel [​IMG] tel que [​IMG].

    Si [​IMG] est une primitive de [​IMG], alors

    [​IMG].

    Exemples
    - Polynômes et fonctions rationnelles

    • Une primitive de la fonction [​IMG] est [​IMG]
    • Une primitive de la fonction [​IMG] est [​IMG]
    • Une primitive de la fonction [​IMG] est [​IMG]
    • Une primitive de la fonction [​IMG] est [​IMG] pour [​IMG] réel différent de −1.
    • Une primitive sur ]0,+∞[ de la fonction inverse [​IMG] est la fonction logarithme népérien [​IMG].
    • Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.

    - Fonctions trigonométriques

    • Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
    • Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

    - Autres
    • Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

    Calcul automatique

    Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC (en), utilisé par les physiciens dans les années 1970.


    Primitives courantes

    Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

    Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.
    (Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

    - Fonctions simples

    [​IMG] désignent des constantes réelles, avec [​IMG].

    [​IMG]
    Ce tableau inclut les primitives de [​IMG] non seulement pour [​IMG] (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour [​IMG] (entier relatif), par exemple [​IMG], et même pour [​IMG] réel non entier, par exemple [​IMG] et [​IMG].

    - Fonctions composées


    Soient [​IMG] et [​IMG] deux fonctions, et [​IMG] un réel.


    [​IMG]

    __________________________________________________________
    · Nom de la page : Primitive
    Contenu soumis à la licence CC-BY-SA 3.0.
    Source : Article Primitive de Wikipédia en français (auteurs)

    __________________________________________________________


    VOIR AUSSI/

    Algorithme de Risch
    Point de Lebesgue




    A SUIVRE :
    TABLE DE PRIMITIVES



     
  2. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Table de primitives


    Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles. Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons [​IMG] par une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point. [​IMG] – appelé intégrale indéfinie de [​IMG] – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction [​IMG] à une constante additive près.


    Règles générales d'intégration


    • Linéarité :
      [​IMG]
    • relation de Chasles :
      [​IMG]
      et en particulier :
      [​IMG]
    • intégration par parties :
      [​IMG]
      moyen mnémotechnique :
      [​IMG]
    avec [​IMG], [​IMG], [​IMG], [​IMG] et [​IMG] implicite.


    • intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues) :
      [​IMG]
      et en particulier :
      [​IMG]

    Explication


    [​IMG][​IMG]


    or, nous savons que :

    [​IMG]

    Primitives de fonctions simples


    Note :
    dans toutes les formules suivantes, C est une constante réelle
    ([​IMG] ).
    [​IMG]

    VOIR ICI
    :
    http://www.wladbladi.net/forum/bibl...0-primitives-mathematiques.html#axzz2FaFdl1ti

    Primitives de fonctions rationnelles


    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]


    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]


    Primitives de fonctions logarithmes

    [​IMG]


    Primitives de fonctions exponentielles


    [​IMG]



    A SUIVRE ....



    Primitives de fonctions irrationnelles
     
  3. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Primitives de fonctions irrationnelles



    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]


    Cet article dresse une liste non exhaustive de primitives de fonctions irrationnelles.

    [​IMG]

    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]


    A SUIVRE

    Primitives de fonctions trigonométriques
     
  4. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Primitives
    de fonctions trigonométriques



    [​IMG]


    Fonction trigonométrique

    En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variable est un angle. Elles permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle (τρίγωνον, trigonon en grec) en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, les fonctions trigonométriques sont importantes pour étudier les triangles, les cercles (on les appelle aussi fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.

    Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ
    peuvent être représentées géométriquement.

    [​IMG]
    Description : This is a graphical construction of the various trigonometric functions from a chord AD (angle θ) of the unit circle centered at O. In addition to the modern trigonometric functions sin (sine), cos (cosine), tan (tangent), cot (cotangent), sec (secant), and csc (cosecant), the diagram also includes a few trigonometric functions that have fallen into disuse: chord, versin (versine or versed sine), exsec (exsecant), cvs (coversine), and excsc (excosecant).
    Date :
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    Creative Commons
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    _______________________________

    Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le sinus (noté sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan, tang ou tg). En notant θ, l'angle formé entre un rayon du cercle unité et l'axe x horizontal, alors on obtient un triangle rectangle formé par le centre du cercle, l'intersection du rayon avec le cercle unité et la projection de cette intersection sur l'axe horizontal. La hauteur de ce triangle correspond au sinus de l'angle θ (sin(θ)), la longueur de la base de ce triangle est égale à cos(θ) et la pente, c'est-à-dire la hauteur divisée par la longueur, vaut tan(θ). Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les équations d'identité trigonométrique. En analyse mathématique, ces fonctions peuvent aussi être définies à partir de la somme de séries entières ou comme les solutions d'équations différentielles ce qui permet de les généraliser à des nombres complexes.

    Selon les domaines d'application, en navigation notamment, de nombreuses autres fonctions sont utilisées : cotangente, sécante, cosécante, sinus verse, haversine, exsécante, etc.

    Par ailleurs, sur le modèle des fonctions trigonométriques, on définit aussi des fonctions hyperboliques dont le nom dérive des premières : sinus hyperbolique (sh), cosinus hyperbolique (ch), etc.

    Lignes trigonométriques

    Un triangle quelconque rectiligne (ou sphérique) possède six parties dont trois côtés et trois angles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait il suffit de connaître trois de ces parties dont un côté pour construire un triangle.

    Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en Europe à partir du Moyen Âge. Les méthodes géométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.


    Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour résoudre un triangle. Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures.

    Ces arcs de cercle ont pour centre un sommet du triangle et sont compris entre les côtés se rapportant à ce sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les segments de droites dont ils dépendent.

    Ces segments s'appellent les lignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (sin x, cos x, tan x, ...) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière à ce que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.

    Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en radians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesures comme les degrés ou les grades.

    Définitions dans un triangle rectangle

    Pour définir les fonctions trigonométriques en un angle Â, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle Â.

    Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
    • l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle  et le côté le plus long du triangle,
    • le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle Â, qui nous intéresse,
    • le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle Â, qui n'est pas l'hypoténuse.


    On notera :
    h : la longueur de l'hypoténuse,
    o : la longueur du côté opposé,
    a : la longueur du côté adjacent.

    [​IMG]
    Description : Triangle rectangle
    Date : 22 janvier 2008 (first version); 10 septembre 2006 (last version)
    Source : Transferred from fr.wikipedia; transferred to Commons by User : Cdang using CommonsHelper.
    Auteur : Oxyde
    Original uploader was Oxyde at fr.wikipedia.
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    Cette image a été (ou est ici-même) mise à disposition dans le domaine public
    son auteur, Oxyde dans le projet wikipedia. Ceci s'applique partout dans le monde.
    Au cas où cela n'est pas possible légalement :
    Oxyde donne à toute personne le droit d'utiliser ce document
    dans n'importe quel but, sans aucune condition,
    à moins que de telles conditions soient imposées par la loi.

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    1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :
    sin(Â) = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse = o/h.

    Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle Â, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.


    [​IMG]
    Description : Representation of the sinus (sine) in a triangle.
    Source : SVG version of Image:Sinus de A.png
    Auteur : fr:User:Colette for the former image, User:BenduKiwi for the Vector image
    Autorisation : Cf infra
    Ce fichier est disponible selon les termes de la licence
    Creative Commons paternité – partage à l’identique 3.0 (non transposée)


    _______________________________


    2) Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :
    cos(Â) = longueur de côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = a/h.

    [​IMG]
    Description : Représentation d'un cosinus dans un triangle rectangle
    Source : SVG version of Image:Cosinus de A.png
    Auteur : fr:User:Colette for the former image, User:BenduKiwi for the Vector image
    Autorisation : Cf infra

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    _______________________________


    3) La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :
    tan(Â) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a.


    [​IMG]
    Description : Representation of the tangent in a triangle.
    Source : SVG version of Image:Tangente de A.png
    Auteur fr : User:Colette for the former image, User:BenduKiwi for the Vector image
    Autorisation : Cf infra
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    _______________________________

    Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus.


    4) La cosécante de  notée cosec(Â) est l'inverse du sinus de Â, 1/sin(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :

    cosec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé = h/o.


    5) La sécante de  notée sec(Â) est l'inverse du cosinus de Â, 1/cos(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent :

    sec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent = h/a.


    6) La cotangente de  notée cot(Â) est l'inverse de la tangente de Â, 1/tan(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé:

    cot(Â)= longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé = a/o.

    - Valeurs remarquables

    Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par une calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées à la main, comme dans les exemples suivants :
    [​IMG]
    Description : triangle rectangle isocèle auteur: Oxyde
    Date : 9 septembre 2006 (original upload date)
    Source : Transferred from fr.wikipedia; transferred to Commons by User : Bloody-libu using CommonsHelper.
    Auteur : Original uploader was Oxyde at fr.wikipedia
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    Supposons que l'on ait un triangle rectangle dans lequel les deux angles sont égaux et valant donc 45 degrés (π/4 radians). Puisque les longueurs a et b sont égales, nous pouvons choisir a = b = 1.

    Maintenant, on peut déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés. En utilisant le théorème de Pythagore,

    [​IMG] . Ceci est illustré dans la figure ci-dessus.

    Par conséquent,

    [​IMG],[​IMG],[​IMG]

    Pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 60 degrés (π/3 radians) et de 30 degrés (π/6 radians), on considère un triangle équilatéral de longueur latérale 1. Tous ses angles sont de 60 degrés. En le divisant en deux, on obtient un triangle rectangle dont un angle est de 30 degrés. On en déduit les valeurs suivantes :

    [​IMG],
    [​IMG],[​IMG] et

    [​IMG],
    [​IMG],[​IMG] .

    On peut se souvenir de ces valeurs en construisant la table suivante : en mettant dans l'ordre 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°) et π/2 (90°), le sinus prend les valeurs [​IMG], et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

    [​IMG]

    - Autres valeurs remarquables :

    [​IMG]


    - Zéros


    [​IMG].
    [​IMG].




     
  5. titegazelle

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    Table de Primitives
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    ... Suite Primitives de fonctions trigonométriques



    Définitions à partir du cercle unité

    Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre [​IMG] .

    Dans un plan muni d'un repère orthonormé [​IMG] , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(x[SUB]A[/SUB], y[SUB]A[/SUB]) sur le cercle, alors on a :
    [​IMG]
    [​IMG]


    Sur le cercle ci-dessous, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l’intervalle [​IMG], soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.

    [​IMG]
    Description: Angles and values on the en:Unit circle.
    Created by Gustavb using Eukleides
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    _________________________

    Notez que nous mesurons les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle [​IMG] avec la demi-droite positive 0x de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées [​IMG]. Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées (0, 0), (cos θ, 0) et (cos θ, sin θ) est égale au rayon du cercle donc à 1. On a donc [​IMG] et [​IMG] .
    Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.
    Bien que seulement le sinus et le cosinus aient été définis directement par le cercle unité, les autres fonctions trigonométriques peuvent être définies par:

    [​IMG]
    [​IMG][​IMG][​IMG]
    Le cercle unité a pour équation :

    [​IMG]
    Cela donne immédiatement la relation

    [​IMG]

    - Relations entre sinus et cosinus

    NB : Les valeurs d'angles sont en radians.

    Pour définir les angles strictement plus grands que [​IMG] ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des fonctions périodiques de période [​IMG] :
    pour tout angle [​IMG] et tout entier k :


    [​IMG][​IMG]
    Ceci exprime le caractère périodique de ces fonctions. Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que


    [​IMG][​IMG] car [​IMG] et [​IMG] sont diamétralement opposés sur le cercle.

    [​IMG][​IMG] car [​IMG] est le point symétrique de [​IMG] par rapport à la bissectrice de [​IMG].

    [​IMG][​IMG] car [​IMG] se déduit de [​IMG] par rotation d'un quart de tour.

    [​IMG][​IMG]
    car [​IMG] est le symétrique de [​IMG] par rapport à [​IMG].

    [​IMG][​IMG] car [​IMG] est le symétrique de [​IMG] par rapport à [​IMG].

    Ces formules font partie des identités trigonométriques.

    - Relations trigonométriques

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG][​IMG]


    [​IMG]


    - Représentations graphiques


    Voici les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente :
    Fichier sinus
    [​IMG]


    Fichier cosinus
    [​IMG]


    Fichier Tangente
    [​IMG]

    Summary : Graph of the function $f(x)=\tan x$ SVG version of image : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Tangente.png
    Author : fr:User:Quark67
    Ces fichiers sont disponibles selon les termes de la
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    Ce fichier et sa description proviennent de Wikimedia Commons.

    _________________________


    - Parité des fonctions

    sinus est une fonction impaire : [​IMG] on a [​IMG]

    cosinus est une fonction paire : [​IMG] on a [​IMG]

    tangente est une fonction impaire [​IMG] on a [​IMG]

    - Dérivées

    [​IMG]
    On trouvera d'autres relations sur la page consacrée aux identités trigonométriques.


    - Limites


    Les fonctions trigonométriques étant périodiques non constantes, elles ne possèdent pas de limite à l'infini.
    La fonction tangente, non définie en π/2+kπ possède une limite infinie à droite et à gauche en ces points :


    [​IMG]
    [​IMG]



    ... SUITE ...
     
  6. titegazelle

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    ... Suite 2 - Primitives de fonctions trigonométriques




    Définitions à partir des séries entières

    Ici, et généralement en analyse, il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir

    [​IMG]

    [​IMG]

    Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie des séries de Taylor, et avec le fait que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l'opposé du sinus.
    Ces définitions sont souvent utilisées comme point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre π puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Les définitions utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus en des fonctions analytiques dans tout le plan complexe.


    Il n'est pas possible d'obtenir des séries aussi simples pour les autres fonctions trigonométriques, mais on a, par exemple

    [​IMG]

    B[SUB]n[/SUB] est le n-ème nombre de Bernoulli. Ces expressions se traduisent sous forme de fractions continues, elles ont permis à Lambert de démontrer l'irrationalité du nombre π (cf l'article Fraction continue).

    - Relations avec la fonction exponentielle et les nombres complexes
    On peut montrer à partir de la définition des séries que les fonctions sinus et cosinus sont respectivement la partie imaginaire et la partie réelle de la fonction exponentielle quand son argument est imaginaire pur :

    [​IMG]
    Cette relation a été trouvée par Euler.
    [​IMG]
    [​IMG]
    i[SUP]2[/SUP] = −1.

    [​IMG]
    [​IMG]

    Voir à ce sujet l'article Trigonométrie complexe (à préparer après)


    Fonctions réciproques


    Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives. En les restreignant à certains intervalles, les fonctions trigonométriques réalisent des bijections. Les applications réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccosec, arcsec et arccot) sont habituellement définies par :

    [​IMG]

    Ces fonctions peuvent s'écrire sous forme d'intégrales indéfinies :
    [​IMG]

    Égalités pratiques :
    [​IMG]


    Propriétés et applications

    Applications de la trigonométrie (à préparer après)

    Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale en trigonométrie, mais interviennent aussi dans l'étude des fonctions périodiques.

    - En trigonométrie
    En trigonométrie, elles fournissent des relations intéressantes entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle quelconque.

    Considérons un triangle quelconque :
    [​IMG]

    .
    la loi des sinus s'écrit:

    [​IMG]
    Cette relation peut être démontrée en divisant le triangle en deux triangles rectangles et en utilisant la définition ci-dessus du sinus.

    Le nombre commun [​IMG] apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois points A, B et C). La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. C'est une situation courante survenant dans la triangulation, une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.
    . la loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore

    [​IMG]

    À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. La loi des cosinus est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.

    . Il y a également la loi des tangentes :

    [​IMG]

    L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences; ce sont les séries de Fourier.

    Pour avoir un formulaire de relations entre les fonctions trigonométriques, consultez les identités trigonométriques.
    - En analyse harmonique
    Les fonctions sinus et cosinus apparaissent aussi dans la description d'un mouvement harmonique simple, un concept important en physique. Dans ce contexte les fonctions sinus et cosinus sont utilisées pour décrire les projections sur un espace à une dimension d'un mouvement circulaire uniforme, le mouvement d'une masse au bout d'un ressort, ou une approximation des oscillations de faible écart angulaire d'un pendule.

    Synthesis square
    [​IMG]


    Animation montrant la décomposition additive d'un signal carré
    lorsque le nombre d'harmoniques s'accroît.
    Description : Additive synthesis of a square wave,
    illustrating Fourier series expansion and Gibbs phenomenon.
    Date et heure : 3 septembre 2006 à 20:45
    Utilisateur : Kieff
    Fixed animation so the series actually converges over the idealized square wave in the illustration.
    Thanks Steven Johnson for pointing that out.
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    Les fonctions trigonométriques sont aussi importantes dans d'autres domaines que celui de l'étude des triangles. Elles sont périodiques et leurs représentations graphiques sont des sinusoïdes et peuvent servir à modéliser des phénomènes périodiques comme le son, les ondes de lumière. Tout signal, vérifiant certaines propriétés, peut être décrit par une somme (généralement infinie) de fonctions sinus et cosinus de différentes fréquences ; c'est l'idée de base de l'analyse de Fourier, dans laquelle les séries trigonométriques sont utilisées pour résoudre de nombreux problèmes aux valeurs limites dans des équations aux dérivées partielles. Par exemple un signal carré, peut être décrit par une série de Fourier :

    [​IMG]


    A SUIVRE .........

    Histoire des fonctions trigonométriques
     
  7. titegazelle

    titegazelle سُبحَانَ اللّهِ وَ بِحَمْدِهِ Membre du personnel

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    Histoire des fonctions trigonométriques


    L’histoire des fonctions trigonométriques semble avoir débuté il y a environ 4 000 ans. Nous savons de façon certaine que les Babyloniens déterminaient des approximations de mesures d'angles ou de longueurs de côtés de triangles rectangles. Plusieurs tables de nombres gravés sur de l'argile séchée en témoignent. Une tablette babylonienne écrite en cunéiforme, nommée Plimpton 322 (environ 1900 av. J.-C.) montre quinze triplets pythagoriciens et une colonne de nombres, qui peut être interprétée comme une table de sécantes. Il y a cependant de nombreux débats à ce sujet pour savoir s'il s'agit bien d'une table trigonométrique.

    Premières utilisations des rapports de longueur dans le triangle

    L'utilisation la plus ancienne du sinus apparaît dans le Sulba Sutras (en) écrit en indien ancien entre le VIIIe siècle av. J.-C. et le VIe siècle av. J.-C., dans lequel la valeur du sinus de π/4 (45°) y est correctement calculée comme égale à [​IMG] avec une procédure pour cercler un carré (l'inverse de quarrer un cercle), bien que les indiens n'eussent pas encore développé la notion de sinus dans un sens général.

    Les rapports trigonométriques furent étudiés indépendamment par Hipparque de Nicée (-180/-125) dans un ouvrage «De l'étude des droites dans le cercle». Hipparque est reconnu comme le premier mathématicien à avoir disposé de « tables trigonométriques » (tables des longueurs d'arcs de cercle et des longueurs des cordes sous-tendues, qui sont en fait des sinus de l'angle moitié) ; elles lui servirent à calculer l'excentricité des orbites lunaire et solaire, et à estimer les grandeurs et distances relatives du Soleil et de la lune. Toutefois, il n'est pas possible d'affirmer à coup sûr qu'il en soit l'initiateur, bien que Ptolémée (deux siècles plus tard) soit de cet avis : si les historiens s'accordent en général pour désigner Hipparque comme le premier compilateur de tables de cordes, les uns vont jusqu'à en faire l'inventeur de la trigonométrie, alors que d'autres considèrent qu'il s'est borné, en la matière, à présenter de manière pratique des connaissances déjà acquises de longue date.

    Formules sur les fonctions trigonométriques

    Plus tard, au IIe siècle de notre ère, Ptolémée d’Alexandrie poursuivit ce travail dans son «Almageste», en établissant des égalités de rapport équivalentes aux formules d'addition et de soustraction donnant [​IMG] et [​IMG]. Ptolémée établit une formule équivalente à la formule de l’angle moitié [​IMG] et dressa une table de ses résultats. Aucune des tables d’Hipparque ou de Ptolémée ne survécurent, mais les descriptions faites par d’autres auteurs antiques laissent peu de doute quant à leur existence.

    - En Inde
    Les développements significatifs de la trigonométrie suivant furent réalisés en Inde. L'astronome et mathématicien indien Aryabhata (476 – 550), dans son ouvrage Aryabhata-Siddhanta, définit pour la première fois le sinus (moderne) à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus (ou sinus verse), et l'inverse du sinus. Ses travaux contiennent aussi les tables les plus anciennes existant actuellement des valeurs du sinus et du contre-sinus (1 − cosinus), de tous les angles compris entre 0° et 90° à intervalles de 3,75°, avec une précision de 4 décimales. Il employait les mots jya pour le sinus, kojya pour le cosinus, ukramajya pour le contre-sinus, et otkram jya pour l'inverse du sinus. Les mots jya et kojya auraient pu devenir sinus et cosinus respectivement après une erreur de traduction.

    Notre sinus moderne est dérivé du mot latin sinus qui signifie «compartiment» ou «pli», venant d'une traduction erronée (par l'intermédiaire de l'arabe), du mot sanskrit jiva, aussi écrit jya. Aryabhata employait le mot ardha-jiva (demi-corde), qui fut abrégé en jiva, puis transcrit avec des caractères différents par les Arabes en jiba (جب). Des traducteurs européens comme Robert de Chester et Gérard de Crémone de Tolède au XIIe siècle confondirent jiba avec jaib (جب), qui désigne un «compartiment», probablement parce que jiba (جب) et jaib (جب) sont écrits de la même façon dans le manuscrit arabe (ce système d'écriture, dans une de ses formes, ne fournit pas au lecteur toutes les informations sur les voyelles).

    D'autres mathématiciens indiens poursuivirent les travaux d'Aryabhata en trigonométrie. Varahamihira établit les formules sin[SUP]2[/SUP]x + cos[SUP]2[/SUP]x = 1, sin x = cos(π/2 − x), et (1 − cos(2x))/2 = sin[SUP]2[/SUP]x. Bhaskara I produisit une formule pour calculer le sinus d'un angle aigu sans utilisation de table. Brahmagupta trouva la formule1 − sin[SUP]2[/SUP]x = cos[SUP]2[/SUP]x = sin[SUP]2[/SUP](π/2 − x), et la formule dite d'interpolation de Brahmagupta (en) permettant d'approximer les valeurs du sinus, qui apparaît comme un cas particulier de la formule d'interpolation de Newton–Stirling au deuxième ordre.

    - Monde arabe et musulman
    Les travaux indiens furent traduits plus tard et furent améliorés par les mathématiciens islamiques. Le mathématicien perse Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī produisit des tables des sinus et des tangentes, et apporta aussi sa contribution à la trigonométrie sphérique. Vers le Xe siècle, d'après l'œuvre d'Abu l-Wafa, il apparaît que les mathématiciens musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec 8 décimales exactes, ainsi que des tables de valeurs de la fonction tangente. Abu l-Wafa produisit également la formule trigonométrique sin 2x = 2 sin x cos x. Le mathématicien perse Omar Khayyam résolut les équations cubiques en employant des solutions numériques approximatives obtenues par interpolation dans des tables trigonométriques.

    Tous ces premiers travaux ont traité principalement la trigonométrie comme un complément de l'astronomie ; il est possible que le mathématicien indien Bhaskara II et le mathématicien perse Nasir al-Din Tusi fussent les premiers à avoir considéré la trigonométrie comme un sujet d'étude. Ils énoncèrent aussi la loi des sinus et énumérèrent les six types de triangles droits en trigonométrie sphérique. Regiomontanus fut peut-être le premier mathématicien d'Europe à considérer la trigonométrie comme une autre discipline mathématique, dans son ouvrage De triangulis omnimodus écrit en 1464, et aussi dans le suivant Tabulae directionum où il utilisa la fonction tangente, sans la nommer.

    Au XIIIe siècle, le mathématicien perse Nasir al-Din Tusi énonça la formule des sinus et en apporta une preuve. Dans le travail du mathématicien perse Ghiyath al-Kashi (XIVe siècle), se trouvent des tables trigonométriques donnant des valeurs de la fonction sinus avec quatre chiffres après la virgule dans le système sexagésimal (ce qui correspond à 8 décimales exactes dans le système de numération décimal) à partir de 1 degré à intervalle de 1/60°. Le mathématicien timouride Ulugh Beg (XIVe siècle) présenta des tables de sinus et de tangentes correctes à 8 décimales après la virgule.

    - Développements ultérieurs
    Madhava (vers 1400) au sud de l'Inde accomplit des avancées en analyse dans l'étude des fonctions trigonométriques et leurs développements en séries infinies. Il développa les concepts de séries entières et de séries de Taylor, et produisit les développements en séries trigonométriques de sinus, cosinus, tangente et arc tangente. En utilisant les approximations en série de Taylor du sinus et du cosinus, il forma une table de sinus avec douze décimales exactes et une table de cosinus à neuf décimales exactes. Il donna des développements en série de π, π/4, du rayon, du diamètre, de la circonférence et de l'angle θ en termes de fonctions trigonométriques. Ses travaux furent poursuivis par ses disciples à l'école du Kerala (en) jusqu'au XVe siècle.

    - Sinus, cosinus, tangentes etc.
    Le traité Canon doctrinæ triangulorum (1551) de Georg Joachim Rheticus, un élève de Copernic, fut probablement le premier ouvrage dans lequel les fonctions trigonométriques étaient définies directement en termes de triangles rectangles au lieu de cercles, et où figuraient des tables des six fonctions trigonométriques. Une version étendue de ce traité fut achevé en 1596 par Valentin Otho un élève de Rheticus.

    En 1579, dans son Canon Mathematicus, François Viète prolonge les travaux de Georg Joachim Rheticus en des tables dont la précision ne sera dépassée que par Pitiscus, en 1613. Il donne les premières «formules» (sous forme rhétorique) permettant de relier entre elles les six lignes trigonométriques. L'emploi de ces formules pour calculer rapidement et avec grande précision le sinus d'un angle d'une minute est détaillé dans cet ouvrage volumineux et qui sert de référence pour les calculateurs européens. Viète donne à cette occasion
    [​IMG] et les valeurs des lignes trigonométriques en nombre décimaux avec une précision de 11 à 12 chiffres. En outre, cet ouvrage étend l'emploi de ces lignes trigonométriques à la trigonométrie sphérique et donne les «formules» permettant de relier les angles et les longueurs d'un triangle rectangle tracé sur la sphère. Le même type de préoccupations occupe alors toute l'Europe. Il est lié tant aux recherches astronomiques qu'à l'essor du commerce maritime. Cela est particulièrement vrai des livres de trigonométrie anglais comme celui de Robert Hues, qui fut imprimé et réimprimé plus de seize fois en vingt ans, ou des préoccupations d'un Jacques Aleaume à l'université de Leyde.

    - Formules de De Moivre et d'Euler
    Suite aux travaux de Bombelli, les racines de nombres négatifs s'imposent dans les calculs en Europe. Ces nombres imaginaires ou inconcevablesdeviendront nos nombres complexes. Dans un premier temps, les mathématiciens européens découvrent des formules remarquables faisant intervenir l'unité imaginaire i (à l'époque noté
    [​IMG]). Entre autres, les formules sur [​IMG] et [​IMG] obtenues par Ptolémée se résument avantageusement par la formule
    [​IMG].
    Cette égalité implique la formule de de Moivre. Pressenti par de Moivre en 1730, ce travail fut rédigé par Euler dans l'ouvrage Introductio in analysin infinitorum (1748). Il fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta la formule d'Euler :

    e[SUP]ix[/SUP] = cos(x) + i sin(x).
    Euler employa les abréviations modernes sin., cos., tang., cot., sec., et cosec.

    Brook Taylor définit les séries de Taylor générales et donna les développements en séries et des approximations de chacune des six fonctions trigonométriques. Les travaux de James Gregory et Colin Maclaurin furent aussi très influents dans le développement des séries trigonométriques.

    Le Cours d'Analyse de Cauchy enseigné à l'École Polytechnique a permis de rendre plus rigoureux l'analyse et en particulier de donner un sens à la somme d'une série entière. Avec Cauchy, les travaux cités peuvent rigoureusement être justifiés. Aujourd'hui, dans l'enseignement supérieur, les fonctions cosinus et sinus sont obtenues comme parties réelle et imaginaire de l'exponentielle complexe obtenue comme somme d'une série entière. Les formules de Ptolémée découlent alors des propriétés de l'exponentielle (présentation à contre-sens historique).

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    Source : Article Histoire des fonctions trigonométriques
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    [SUP]http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagComp.htm[/SUP]




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    Trigonométrie complexe
    et
    Applications de la trigonométrie

     

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